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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}


\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\KK}{\mathbb K}
\newcommand{\FF}{\mathbb F}
\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
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\newcommand{\transp}{\,{}^t\!}
\newcommand{\fnc}[5]{\begin{align*}#1#2&\longrightarrow#3\\#4&\longmapsto#5\end{align*}}

\title{205 -- Espaces complets. Exemples et applications.}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\subsection*{Question.}
Donner un exemple de fonction continue exactement sur $\RR\setminus\mathbb Q$.

\subsection*{Réponse.}
\fnc{f:}{[0,1]}{\RR}{x}{\left\{\begin{array}{ll}0&\text{si }x\in\RR\setminus\mathbb Q\\\frac 1q&\text{si }x=\frac pq,p\land q=1.\end{array}\right.}
$\RR\setminus\mathbb Q$ est dense dans $\RR$ donc pour $p,q$ tels que $p\land q=1$,
\[\forall\varepsilon>0,\exists x\in\RR\setminus\QQ,\quad|x-\frac pq|<\varepsilon.\]
On a alors $f(x)=0$ et $f\left(\frac pq\right)=\frac 1q$ donc $f$ est discontinue sur $\QQ$.

Soit $x\in\RR\setminus\QQ$, il existe une suite $\left(\frac{p_n}{q_n}\right)_{n\in\NN}$ convergeant vers $x$ car $\QQ$ est dense dans $\RR$.

Si $(q_n)$ est bornée, il en existe une sous-suite constante $(q_{\varphi(n)})$ car elle est à valeurs entières et donc $(p_{\varphi(n)})$ est constante à partir d'un certain rang car à valeurs entières et convergente. Finalement, $x=\lim\frac{p_{\varphi(n)}}{q_{\varphi(n)}}\in\QQ$.

Ceci est exclu donc $(q_n)$ n'est pas bornée et donc $f\left(\frac{p_n}{q_n}\right)=\frac 1{q_n}$ converge vers $0$, donc $f$ est continue sur $\RR\setminus\QQ$.
\subsection*{Question.}
Existe-t'il une fonction $f:\RR\to\RR$ continue exactement sur $\QQ$ ?

\subsection*{Réponse.}
On note $C_f$ l'ensemble des points de continuité de $f$ et on montre que $C_f$ est une intersection dénombrable d'ouverts.

On a 
\[C_f=\bigcap_{n\in\NN^*}\Omega_n\quad\text{avec}\quad\Omega_n:=\{x\in\RR\mid\exists\eta>0,(y,z)\in\mathopen]x-\eta,x+\eta[^2\Rightarrow|f(y)-f(z)|<\frac 1n\}\]
et $\Omega_n$ est ouvert.

Or $\QQ$ n'est pas une intersection dénombrable d'ouverts. En effet, si $\QQ=\bigcap_{n\in\NN^*}\Omega_n$ avec $\Omega_n$ ouvert, alors
\begin{align*}
\RR&=\QQ\cup \RR\setminus\QQ\\
&=\QQ\cup(\bigcap_{n\in\NN^*}\Omega_n)\\
&=\bigcup_{x\in\QQ}\{x\}\cup(\bigcup_{n\in\NN^*}\Omega_n^c)
\end{align*}
et donc $\RR$ est une union dénombrable de fermés. D'après le lemme de Baire, un de ces fermés est d'intérieur non vide, ce ne peut pas être les $\{x\}$ donc c'est un $\Omega_n^c$, ce qui contredit la densité de $\QQ$.
\end{document}