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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

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\theoremstyle{remark}
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\title{207 -- Prolongement de fonctions. Exemples et applications.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\subsection*{Question.}
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $x\in E$ non nul. Trouver $\varphi\in E'$ tel que $\varphi(x)=\|x\|$ et $\|\varphi\|=1$.

\subsection*{Réponse.}
\fnc{\phi:}{\text{vect}(x)}{\RR}{\lambda x}{\lambda \|x\|}
appartient à $E'$, donc par le théorème de Hahn-Banach il existe $\varphi\in E'$ tel que $\varphi_{|\text{vect}(x)}=\phi$ et $\|\varphi\|=\|\phi\|=1$.

\subsection*{Question.}
Soit \fnc{j:}{E}{E''}{x}{(\varphi\mapsto\varphi(x)).} Montrer que $j$ est une isométrie sur $E''$.

\subsection*{Réponse.}
Soit $x\in E$ et $\varphi\in E'$, on a
\[|j(x)(\varphi)|=|\varphi(x)|\le\|\varphi\|\|x\|\]
donc $\|j(x)\|\le\|x\|$.

Par ailleurs, il existe $\varphi\in E'$ tel que $\varphi(x)=\|x\|$ et $\|\varphi\|=1$, on a alors $|j(x)(\varphi)|=\|x\|$, donc $\|j(x)\|\ge\|x\|$.

Finalement, $\|j(x)\|=\|x\|$.

\subsection*{Question.}
Le théorème de Borel affirme que pour toute suite $(a_k)\in\RR^\NN$ il existe $u\in\mathcal C^\infty(\RR)$ telle que $u^{(k)}(0)=a_k$ pour tout $k$. Peut-on remplacer $\mathcal C^\infty$ par analytique ?

\subsection*{Réponse.}
Non : on définit $a_k:=k!^2$ et on pose $u(x)=\sum u_kx^k$. Alors $u^{(k)}(0)=u_kk!$ donc si $u^{(k)}(0)=a_k$, alors $u_k=k!$ donc $u$ a un rayon de convergence nul.

\subsection*{Question.}
Soit $f\in\mathcal C^\infty(\RR)$ paire. Existe-t'il $g\in\mathcal C^\infty(\RR)$ telle que $f(x)=g(x^2)$ ?

\subsection*{Réponse.}
On commence par montrer qu'il existe $u\in\mathcal C^\infty(\RR)$ telle que la fonction $v:x\mapsto f(x)-u(x^2)$ vérifie $v^{(k)}(0)=0$ pour tout $k$.

Une fonction $v$ définie de la sorte est paire, donc $v^{(2k+1)}(0)=0$ pour tout $k$. Par ailleurs, on peut montrer par récurrence que $v^{(2k)}(x)$ s'exprime sous la forme
\[f^{(2k)}(x)-\sum_{i=0}^ka_iu^{(k+i)}(x^2)x^{2i}\]
avec $a_i\neq 0$ (on a exactement $v^{(2k)}(x)=f^{(2k)}(x)-(2k)!\sum_{i=0}^k\frac{2^{2i}}{(2i)!(k-i)!}u^{(k+i)}(x^2)x^{2i}$) donc les $u^{(k)}(0)$ s'expriment en fonction des $f^{(2k)}(0)$ et des $v^{(2k)}(0)$ ($u^{(k)}(0)=f^{(2k)}(0)-\frac{k!}{(2k)!}v^{(2k)}(0)$). Finalement, en prenant une fonction $u$ vérifiant $u^{(k)}(0)=f^{(2k)}(0)$ (dont l'existence est assurée par le théorème de Borel), on obtient ce qu'on veut.

On pose $w:x\mapsto v(\sqrt{|x|})$. Alors $w^{(k)}$ s'écrit comme une somme de termes de la forme $\frac{v(\sqrt{|x|})}{|x|^\alpha}$, donc $\lim_{x\to 0}w^{(k)}(x)=0$ car $v(x)=o(x^k)$ pour tout $k$ par l'inégalité de Taylor-Lagrange. On en déduit que $w$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\RR$. Il suffit alors de poser $g:=w+u$.

\subsection*{Question.}
Soit $f$ et $g$ deux fonctions analytiques telles que $fg(z)=0$ pour tout $z\in\CC$. Montrer que $f$ ou $g$ est nulle.

\subsection*{Réponse.}
Pour tout $z,f(z)=0$ ou $g(z)=0$ donc une des deux a un zéro non isolé, donc une des deux est nulle.

\subsection*{Question.}
Que peut-on dire d'une fonction continue sur $\bar D(0,1)$, holomorphe sur $D(0,1)$ et nulle sur $\{|z|=1\}$ ?

\subsection*{Réponse.}
Elle est nulle sur $\bar D(0,1)$ par le principe du maximum.

\subsection*{Question.}
Et si on suppose qu'elle est seulement nulle sur $\{z\in\CC\mid |z|=1\text{ et }\text{Im}(z)\ge 0\}$ ?

\subsection*{Réponse.}
Alors $z\mapsto f(z)f(-z)$ vérifie les conditions de la question précédente donc est nulle sur $\bar D(0,1)$, et donc $f$ est nulle sur $\bar D(0,1)$ par ce qui a été fait précédemment.
\end{document}