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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}


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\title{208 -- Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\begin{remarque}
Tout espace vectoriel est normable ! On peut prendre par exemple $\|x\|:=\sup|x_i|$ où $x=\sum x_ie_i$ avec $(e_i)_{i\in I}$ une base algébrique.
\end{remarque}
\subsection*{Question.}
Soit $B\subset\RR^n$. Montrer que $B$ est la boule unité d'une norme si et seulement si $B$ est convexe, compacte, symétrique et $\mathring B\neq\varnothing$.

\subsection*{Réponse.}
\begin{itemize}
	\item[$\Rightarrow$ :]Si $B$ est la boule unité d'une norme, alors $B$ est compacte car $\RR^n$ est de dimension finie, convexe par inégalité triangulaire, symétrique par homogénéité et d'intérieur non vide car contenant la boule unité ouverte.
	\item[$\Leftarrow$ :]On pose $\|x\|:=\inf\{\lambda\in\RR_+\mid \frac x\lambda\in B\}$ la jauge de $B$.
	
	$\|\cdot\|$ est définie car $\mathring B\neq\varnothing$ donc contient une boule et $B$ est symétrique et convexe donc $B$ contient une boule ouverte centrée en $0$ (faire un dessin) donc $\{\lambda\in\RR\mid x\in\lambda B\}\neq\varnothing$. Par ailleurs, $\{\lambda\in\RR_+\mid\frac x\lambda\in B\}=[\|x\|,+\infty[$. En effet, si $(\lambda_n)$ est une suite convergeant vers $\|x\|$ telle que $\frac x{\lambda_n}\in B$, alors $\frac x{\|x\|}\in B$ car $B$ est fermée et si $\lambda\ge\|x\|$, alors $\frac x\lambda=\frac{\|x\|}\lambda\frac x{\|x\|}+(1-\frac{\|x\|}\lambda)\times 0\in B$ par convexité de $B$. Ceci montre en particulier que $\|x\|\le 1$ si et seulement si $x\in B$.
	
	L'homogénéité se vérifie immédiatement grâce au caractère symétrique.
	
	Si $\|x\|=0$, il existe $(\lambda_n)_{n\in\NN}$ convergeant vers 0 telle que $\frac x{\lambda_n}\in B$ et $B$ est bornée donc $x=0$.
	
	Finalement, $\frac x{\|x\|}\in B$ et $\frac y{\|y\|}\in B$ donc pour tout $t\in[0,1],t\frac x{\|x\|}+(1-t)\frac y{\|y\|}\in B$. En particulier, en posant $t:=\frac{\|x\|}{\|x\|+\|y\|}$, on a $\frac{x+y}{\|x\|+\|y\|}\in B$, donc $\|x+y\|\le \|x\|+\|y\|$.
	
	\subsection*{Question.}
	Soit $E$ un espace de Banach. Montrer que $GL(E)$ est ouvert dans $\mathcal L_c(E)$.
	
	\subsection*{Réponse.}
	Soit $u\in GL(E)$ et $v\in\mathcal L_c(E)$. Alors $u+v=u(1+u^{-1}v)$, donc si $\|v\|<\frac 1{\|u^{-1}\|}$, alors $u+v$ est inversible et $(u+v)^{-1}=\sum(u^{-1}v)^nu^{-1}$.
	
	\subsection*{Question.}
	Donner un exemple d'espace seulement préhilbertien.
	
	\subsection*{Réponse.}
	On peut prendre par exemple l'espace des suites complexes nulles à partir d'un certain rang, qui est un sous-espace de $l^2$ non fermé donc non complet.
	
	\subsection*{Question.}
	Montrer qu'un hyperplan d'un espace vectoriel normé est soit dense soit fermé.
	
	\subsection*{Réponse.}
	Soit $H$ un hyperplan, alors il existe une forme linéaire $f$ telle que $H=\ker f$. Si $f$ est continue, $H$ est fermé. Par ailleurs, $\bar H$ est un espace vectoriel, ce qui répond à la question.
	
	\subsection*{Question.}
	Soit $(T_n)_{n\in\NN}$ une suite d'opérateurs sur un espace de Banach telle que \mbox{$\sup\|T_n\|<\infty$} et $T_n(x)\longrightarrow T(x)$ pour tout $x$ avec $T$ un opérateur. A-t'on $\|T_n-T\|\longrightarrow 0$ ?
	
	\subsection*{Réponse.}
	Non : on définit \fnc{T_n:}{l^2(\NN)}{l^2(\NN)}{(u_p)}{(a_p)} avec $a_p=u_p$ si $p\le n$ et $a_p=0$ si $p>n$.
	
	Alors pour tout $x,T_n(x)\longrightarrow x$ et $\|T_n-I\|=1$.
	
	\subsection*{Question.}
	Est-ce qu'une suite qui est de Cauchy pour une métrique l'est aussi pour toute métrique topologiquement équivalente ?
	
	\subsection*{Réponse.}
	Non : soit $u_n:=n$ et $d(x,y):=|\arctan x-\arctan y|$, alors $(u_n)$ est de Cauchy pour $d$ mais pas pour $|\cdot|$ alors que ces métriques sont topologiquement équivalentes.
	
	\subsection*{Question.}
	Donner un exemple de forme linéaire non continue sur un espace de Banach.
	
	\subsection*{Réponse.}
	Soit $E$ un espace de Banach de dimension infinie, $(e_i)_{i\in I}$ une base algébrique de $E$ et $(x_n)_{n\in\NN}\subset(e_i)_{i\in I}$ telle que pour tout $n$, $\|x_n\|=1$.
	
	On définit la forme linéaire $T$ par $T(x_n)=n$ et $T(e_i)=0$ pour $e_i\notin(x_n)$, elle n'est pas continue.
	
	\subsection*{Question.}
	Montrer que si $\int|f|=0$, alors $f=0$ presque partout.
	
	\subsection*{Réponse.}
	On a 
	\[\bigcup_{n\in\NN^*}\{|f|\ge\frac 1n\}=\{|f|>0\}.\]
	Si $f$ n'est pas nulle presque partout, alors $\mu(\{|f|>0\})>0$ donc il existe $n$ tel que $\mu(\{|f|\ge\frac 1n\})>0$ et alors 
	\[\int|f|\ge\int_{|f|\ge\frac 1n}|f|\ge\frac 1n\mu(\{|f|\ge\frac 1n\})>0.\]
\end{itemize}
\end{document}