\documentclass{article}

\usepackage{lmodern}
\usepackage[T1]{fontenc}      
\usepackage[francais]{babel}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{setspace}
\usepackage{soul}
\usepackage{amsthm, amsmath, amssymb}
%\usepackage{mathrsfs}
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{centernot}
%\usepackage[all]{xy}
%\usepackage{fullpage}

%\setlength\parindent{0em}

\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\KK}{\mathbb K}
\newcommand{\FF}{\mathbb F}
\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
\newcommand{\MM}{\mathcal M}
\newcommand{\dt}{\,\mathrm d}
\newcommand{\transp}{\,{}^t\!}
\newcommand{\fnc}[5]{\begin{align*}#1#2&\longrightarrow#3\\#4&\longmapsto#5\end{align*}}

\title{209 -- Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Question.}
Qu'est-ce qu'une fonction qui satisfait les conditions de Hölder (ou hölderienne) ?

\section*{Réponse.}
Une fonction $f$ vérifiant
\[\forall x,y,\quad|f(y)-f(x)|\le C|x-y|^\alpha\]
pour $C>0$ et $\alpha\in]0,1]$.

\section*{Question.}
Que se passe-t-il si $\alpha>1$ ?

\section*{Réponse.}
Dans ce cas,
\[\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\le C|x-y|^{\alpha-1}\]
donc $f'(x)=0$ pour tout $x$, donc $f$ est constante.

\section*{Question.}
Majorer la vitesse de convergence des polynômes de Bernstein dans le cas d'une fonction $f$ hölderienne.

\section*{Question.}
Le module de continuité est égal à
\[\omega(h)=\sup\{|f(y)-f(x)|\mid|y-x|\le h\}\le Ch^\alpha.\]
On en déduit
\[\|B_n-f\|_\infty\le\frac C{n^{\frac\alpha 2}}.\]

\section*{Question.}
Est-ce que toute fonction continue sur $\RR$ est limite uniforme d'une suite de polynômes ?

\section*{Réponse.}
Non, en fait seuls les polynômes sont limites uniformes d'une suite de polynômes.

Soit $(P_n)_{n\in\NN}$ une suite de polynômes convergeant uniformément vers $f$. Alors $(P_n)_{n\in\NN}$ est de Cauchy donc il existe $N\in\NN$ tel que pour tout $n\ge N,\|P_n-P_N\|_\infty<1$. Or $P_n-P_N$ est un polynôme borné, donc est constant, on a $P_n-P_N=c_n\in\CC$. Or $P_n-P_N$ converge vers $f-P_N$ donc $(c_n)_{n\in\NN}$ converge vers une constante $c=f-P_N$. D'où $f=P_N+c$ est un polynôme.
\end{document}