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\title{224 -- Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Question.}
Quel outil principal utilise-t-on pour prouver le théorème des nombres premiers ?

\section*{Réponse.}
On utilise la fonction $\zeta:s\mapsto\sum_{n\ge 1}\frac 1{n^s}$ définie sur Re$(s)>1$, que l'on écrit sous la forme
\[\zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb P}\frac 1{1-p^{-s}}.\]

\section*{Question.}
Donner le terme suivant dans le développement asymptotique de $\sum_{k=0}^n\frac 1k=\ln n+\gamma+o(1)$.

\section*{Réponse.}
On écrit
\[\sum_{k=1}^n\frac 1k=\ln n+\gamma+x_n.\]
On a
\begin{align*}
x_{n+1}-x_n&=\frac 1{n+1}+\ln\left(\frac n{n+1}\right)\\
&=\frac 1{n+1}+\ln\left(1-\frac 1{n+1}\right)\\
&=\frac 1{n+1}-\frac 1{n+1}-\frac 1{2(n+1)^2}+o\left(\frac 1{(n+1)^2}\right)\\
&=-\frac 1{2n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right).
\end{align*}
Par ailleurs,
\[\sum_{n=N}^{+\infty}x_{n+1}-x_n=-x_N\]
et la série de terme général $\frac 1{2n^2}$ est convergente donc 
\[x_N\sim\sum_{n=N}^{+\infty}\frac 1{2n^2}\sim\int_N^{+\infty}\frac{\dt t}{2t^2}=\frac 1{2N}.\]

\section*{Question.}
On pose la suite $u_{n=1}=u_ne^{-u_n}$ avec $u_0>0$, donner un équivalent de $(u_n)$.

\section*{Réponse.}
On pose $f:x\mapsto xe^{-x}$, on a $f(\RR_+)\subset\RR_+$.

$f$ admet 0 comme unique point fixe. Par ailleurs, $u_{n+1}-u_n=u_n(e^{-u_n}-1)\le 0$ donc $(u_n)$ est décroissante et positive, donc converge vers 0.

Trouvons $\alpha$ tel que $u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha$ ne tend pas vers $0$. On prend $\alpha<0$, sinon $u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha$ tend vers 0.
\begin{align*}
u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha&=u_n^\alpha(e^{-\alpha u_n}-1)\\
&=u_n^\alpha(-\alpha u_n+o(u_n))\\
&=-\alpha u_n^{\alpha+1}+o(u_n^{\alpha+1}).
\end{align*}
On pose $\alpha=-1$, $\lim_{n\to+\infty}u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha=1$.

On en déduit, par le lemme de Césaro,
\[\lim_{n\to+\infty}\frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{u_{k+1}}-\frac 1{u_k}=1\]
donc $\lim_{n\to+\infty}\frac 1n\left(\frac 1{u_n}-\frac 1{u_0}\right)=1$, d'où $u_n\sim\frac 1n$.
\end{document}