\documentclass{article}

\usepackage{lmodern}
\usepackage[T1]{fontenc}      
\usepackage[francais]{babel}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{setspace}
\usepackage{soul}
\usepackage{amsthm, amsmath, amssymb}
%\usepackage{mathrsfs}
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{centernot}
%\usepackage[all]{xy}
%\usepackage{fullpage}

\setlength\parindent{0em}

\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
\newtheorem*{cor}{Corollaire}
\newtheorem*{thm}{Théorème}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{Définition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}
\newtheorem*{cexe}{Contre-exemple}
\newtheorem*{app}{Application}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\KK}{\mathbb K}
\newcommand{\dt}{\,\mathrm d}
\newcommand{\transp}{\,{}^t\!}
\newcommand{\fnc}[5]{\begin{align*}#1#2&\longrightarrow#3\\#4&\longmapsto#5\end{align*}}

\title{241 -- Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\subsection*{Question.}
Est-ce que le $\sup$ d'une fonction sur $\mathbb Q$ est le même que celui sur $\RR$ ?

\subsection*{Réponse.}
En général non, par exemple $\sup_{\mathbb Q}\mathbf 1_{\RR\setminus\mathbb Q}=0$ et $\sup_{\RR}\mathbf 1_{\RR\setminus\mathbb Q}=1$. Par contre pour une fonction continue oui. En effet, soit $f$ une fonction continue sur $\RR$ et soit $a:=\sup_\RR f$. Par définition de $a$, il existe $b\in\RR$ tel que $f(a)-\varepsilon<f(b)$. Or $f$ est continue en $b$ donc il existe $\eta>0$ tel que $|x-b|<\eta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon$. Soit alors $x\in\mathbb Q$ tel que $|x-b|<\eta$ (existe par densité de $\mathbb Q$), alors $f(b)-f(x)<\varepsilon$ donc $f(a)-\varepsilon<f(x)+\varepsilon$, d'où $f(a)-2\varepsilon<f(x)$.

D'autre part, $a$ est bien un majorant de $f$ sur $\mathbb Q$, donc $a=\sup_{\mathbb Q}f$.

\subsection*{Question.}
Si on affaiblit les hypothèses du deuxième théorème de Dini, est-ce que vous connaissez des contre-exemples ? On rappelle le deuxième théorème de Dini : soit $(f_n)$ une suite de fonctions croissantes sur $[a,b]$ dans $\RR$ qui converge simplement vers une fonction continue $f$, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.

\subsection*{Réponse.}
Si on ne suppose pas que les fonctions sont définies sur un segment : on considère $f_n:x\mapsto x^n$ définie sur [0,1[, alors chaque $f_n$ est croissante et $(f_n)$ converge simplement vers 0 mais pas uniformément.

Si on ne suppose pas que les fonctions sont croissantes : on définit la fonction affine par morceaux $f_n$ qui vaut 1 en $\frac 1n$, 0 en 0 et 0 en $\frac 2n$. Alors $(f_n)$ converge simplement vers 0 mais pas uniformément.

Par contre, le théorème reste valable sur un compact.

\subsection*{Question.}
Et pour le premier théorème de Dini ? On rappelle ce théorème : soit $(f_n)$ une suite croissante de fonctions réelles continues définies sur $[a,b]$ qui converge simplement vers une fonction $f$ continue sur $[a,b]$, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.

\subsection*{Réponse.}
Si on ne suppose pas $f_n$ continue : on définit $f_n$ sur $[0,1]$ de la façon suivante : $f_n(0)=1,f_n(x)=1$ pour $x\ge\frac 1n$, $\lim_{x\to 0^+}f_n(x)=0$  et $f_n$ affine sur $\mathopen]0,\frac 1n]$. Alors $(f_n)$ converge simplement vers 1 continue mais pas uniformément.

\subsection*{Question.}
Si on impose des hypothèses de régularité sur $f$, est-ce qu'on peut dire quelque chose sur la convergence de $\hat f(n)$ ?

\subsection*{Réponse.}
Si $f$ est de classe $\mathcal C^k$, $f_n=o\left(\frac 1{n^k}\right)$.

\subsection*{Question.}
Réciproquement, si $f_n=o\left(\frac 1{n^k}\right)$, est-ce qu'on peut dire quelque chose sur la régularité de $f$ ?

\subsection*{Réponse.}
Pour $k\ge 2$ oui, $f$ est de classe $\mathcal C^{k-2}$.

\subsection*{Question.}
Soit $f_n$ définie sur $X\subset\RR$ mesurable, $f_n\ge 0$ et telle que $(f_n)$ converge en décroissant vers une fonction $f$. Est-ce qu'on a $\int_Xf\dt\mu=\lim_{n\to+\infty}\int_Xf_n\dt\mu$.

\subsection*{Réponse.}
Non, on prend $f_n:=\frac 1n$, alors $\int_\RR f_n=+\infty$ et $f_n\to 0$ d'intégrale nulle.

\subsection*{Question.}
Si on suppose qu'il existe $n_0$ tel que $f_{n_0}$ soit d'intégrale finie ?

\subsection*{Réponse.} C'est vrai parce qu'à partir de $n_0$, les intégrales sont finies (car $f_n\ge 0$ et $(f_n)$ est décroissante), donc on peut appliquer le théorème de convergence dominée avec $f_{n_0}$ (on peut aussi appliquer le théorème de convergence monotone sur $f_{n_0}-f_n$).

\subsection*{Question.}
Est-ce que cette condition est nécessaire ?

\subsection*{Réponse.}
Non, il suffit de prendre une suite constante de fonctions d'intégrale nulle.
\end{document}