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\title{253 -- Utilisation de la notion de convexit� en analyse.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Question.}
Si $K$ est un convexe ferm� d'un espace de Hilbert et que $p_K$ d�signe la projection sur $K$, pourquoi $p_K$ est 1-lipschitzienne ?

\section*{R�ponse.}
On a, pour tous $w,w'\in K$,
\[\langle p_K(u)-u,p_K(u)-w\rangle\le 0\quad\text{et}\quad\langle p_K(v)-v,p_K(v)-w'\rangle\le 0.\]
En posant $w:=p_K(v)$ et $w':=p_K(u)$, on a
\[\langle p_K(u)-u,p_K(u)-p_K(v)\rangle\le 0\quad\text{et}\quad\langle p_K(v)-v,p_K(v)-p_K(u)\rangle\le 0,\]
d'o�, en sommant ces deux relations,
\[\langle p_K(u)-p_K(v),p_K(u)-u+v-p_K(v)\rangle\le 0.\]
On en d�duit
\[\|p_K(u)-p_K(v)\|^2\le\langle u-v,p_K(u)-p_K(v)\rangle\le\|p_K(u)-p_K(v)\|\|u-v\|\]
par Cauchy-Schwarz, d'o� le r�sultat.

\section*{Question.}
Soit $E$ un espace vectoriel norm� et soit $f:E\to\RR$ convexe major�e. $f$ est-elle localement minor�e ?

\section*{R�ponse.}
Soit $B(a,r)$ une boule de $E$, on pose $M:=\sup_{B(a,r)}f<+\infty$. Pour $x\in B(a,r)$, on �crit $x=a+v$ avec $\|v\|\le 1$. Alors $a-v\in B(a,r)$, donc
\[f(a)=f\left(\frac 12(a-v)+\frac 12(a+v)\right)\le\frac 12f(a-v)+\frac 12f(a+v)\le\frac M2+\frac 12f(x),\]
donc $f(x)$ est minor�e sur $B(a,r)$.

\section*{Question.}
Une fonction convexe minor�e est-elle constante ?

\section*{R�ponse.}
Non : $x\mapsto x^2$.

\section*{Question.}
Une fonction $f:\RR_+\to\RR$ convexe major�e est-elle d�croissante ?

\section*{R�ponse.}
Oui : si $x<y$ et $f(x)<f(y)$, alors la courbe de $f$ � droite de $y$ est au dessus de la droite passant par $(x,f(x))$ et $(y,f(y))$, donc $f$ n'est pas major�e.

\section*{Question.}
Donner un exemple de fonction $\phi:\RR\to\RR$ non convexe v�rifiant $\phi\left(\frac{x+y}2\right)\le\frac{\phi(x)+\phi(y)}2$ pour tous $x,y\in\RR$.

\section*{R�ponse.}
On consid�re $\RR$ comme un $\QQ$-espace vectoriel, il n'est pas de dimension finie.\\
On consid�re $E_1:=\{q+\sqrt 2p\mid p,q\in\QQ\}$, sous-espace vectoriel de $\RR$. Pour $x\in\RR$, on �crit $x=q+\sqrt 2p+x_2$ avec $x_2$ dans un compl�mentaire alg�brique de $E_1$ (l'axiome du choix est n�cessaire ici) et on d�finit la forme lin�aire $\phi(x):=p+\sqrt 2q+x_2$. Alors $\phi$ n'est pas continue en $\sqrt 2$. En effet, soit $(q_n)$ une suite de rationnels convergeant vers $\sqrt 2$, alors $\phi(q_n)=q_n$ converge vers $\sqrt 2$, or $\phi(\sqrt 2)=2$, donc $\phi$ n'est pas continue. Donc $\phi$ n'est pas convexe, or $\phi\left(\frac{x+y}2\right)=\frac{\phi(x)+\phi(y)}2$ car $\phi$ est $\QQ$-lin�aire.
\end{document}