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\title{261 -- Fonction caractéristique et transformée de Laplace d'une variable aléatoire. Exemples et applications.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Question.}
Soit $X_i$ des variables aléatoires i.i.d. de Bernoulli, $N\sim\mathcal P(\lambda)$ et $Z:=\sum_{i=1}^NX_i$. Déterminer la loi de $Z$.

\section*{Réponse.}
Calculons la fonction caractéristique de $Z$.
\begin{align*}
\varphi_Z(t)&=\mathbb E(e^{itZ})\\
&=\mathbb E\left(\prod_{j=1}^Ne^{itX_j}\right)\\
&=\mathbb E\left(\mathbb E\left(\prod_{j=1}^Ne^{itX_j}\mid N\right)\right)\\
&=\mathbb E\left(\prod_{j=1}^N\varphi_{X_j}(t)\right)\\
&=\mathbb E(\varphi_{X_1}(t)^N)\\
&=\mathbb E((1-p+pe^{it})^N)\\
&=G_N(1-p+pe^{it})\\
&=e^{\lambda p(e^{it}-1)},
\end{align*}
qui est la fonction caractéristique d'une variable suivant une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda p)$.

\section*{Question.}
Soit $X$ une v.a. à valeurs dans $\ZZ$, montrer qu'il existe $c$ tel que $\varphi_X(c)=1$.

\section*{Réponse.}
$\varphi_X(2\pi)=\mathbb E(e^{2i\pi})=1$.

\section*{Question.}
Soit $X$ une v.a. à valeurs dans $a+b\ZZ$, montrer qu'il existe $c\in\RR^*$ tel que $|\varphi_X(c)|=1$.

\section*{Réponse.}
On pose $X=a+bY$,
\[|\varphi_X(c)|=|\mathbb E(e^{ic(a+bY)})|=|e^{ica}\mathbb E(e^{icbY})|.\]
On pose donc $c:=\frac{2\pi}b$.

\section*{Question.}
Montrer que s'il existe $c\neq 0$ tel que $|\varphi_X(c)|=1$, alors $X$ est à valeurs dans $a+b\ZZ$.

\section*{Réponse.}
On a
\[|\varphi_X(c)|=|\mathbb E(e^{icX})|=1\]
et
\[|\varphi_X(c)|\le\mathbb E(|e^{icX}|)=1\]
donc $|\mathbb E(e^{icX})|=\mathbb E(|e^{icX}|)$. Montrons que $cX$ est constant modulo $2\pi$. Pour $f$ intégrable, tel que $|\int f|=\int|f|$, il existe $\alpha$ tel que
\begin{align*}
\left|\int f\dt x\right|&=e^{i\alpha}\int f\dt x\\
&=\int e^{i\alpha}f\dt x\\
&=\Re\left(\int e^{i\alpha}f\dt x\right)\\
&=\int\Re(e^{i\alpha} f)\dt x\\
&=\int|f|\dt x.
\end{align*}
On a donc $|f|=\Re(e^{i\alpha}f)$ car $|f|-\Re(e^{i\alpha})\ge 0$. On en déduit que l'argument de $f$ est constant. 

On a donc que $cX\equiv\theta[2\pi]$, d'où $X\in\frac\theta c+\frac{2\pi}c\ZZ$.

\section*{Question.}
Montrer que s'il existe $c,d\neq 0$ avec $\frac cd\notin\QQ$ tels que $|\varphi_X(c)|=|\varphi_X(d)|=1$, alors $X$ est constante.

\section*{Réponse.}
Supposons $X$ non constante, alors par la question précédente il existe $k_1\neq k_2$ et $l_1\neq l_2$ tels que
\[\left\{\begin{array}{l}\frac\theta c+\frac{2\pi}ck_1=\frac{\theta'}d+\frac{2\pi}dl_1\\\frac\theta c+\frac{2\pi}ck_2=\frac{\theta'}d+\frac{2\pi}dl_2.\end{array}\right.\]
D'où
\[\frac{2\pi}c(k_1-k_2)=\frac{2\pi}d(l_1-l_2),\]
or $\frac cd\notin\QQ$, donc c'est absurde.
\end{document}