\documentclass[12pt,french]{article}

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\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{proposit}{Proposition}
\newtheorem{definit}{Définition}
\begin{document}
\begin{center}
\LARGE{Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov}
\end{center}
\textbf{Notations} 

\begin{itemize}
\item Posons $\tau_{h}f = f(\cdot+h)$ l'opérateur de translation d'une fonction $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$ par un vecteur $h$,\
\item notons $\mathcal{C}_c(\mathbb{R}^N)$ l'espace vectoriel des fonctions continues à support compact dans $\mathbb{R}^N$, et $\mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R}^N) = \mathcal{C}_c(\mathbb{R}^N) \cap \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^N)$.
\end{itemize}
\begin{theorem}[Riesz-Fréchet-Kolmogorov]
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^N$ et soit $\omega$ une partie ouverte et relativement compacte de $\Omega$. Soit $\mathcal{F}$ un sous ensemble borné de $L^p(\Omega)$, où $1 \le p < + \infty$. On suppose que : $$ \forall \epsilon > 0, \ \exists \delta > 0 \ (\delta < d(\omega, \Omega^c))\ \mathrm{de\ sorte\ que\ }$$ $$ \| \tau_{h}f - f\|_{L^p(\omega)} < \epsilon, \ \mathrm{pour\ tout} \ h \in \mathbb{R}^N \ \mathrm{où} \ \|h\| < \delta \ \mathrm{et} \ f \in \mathcal{F}.$$
Alors, $\mathcal F_{|\omega}$ est relativement compact dans $L^p(\omega)$.
\end{theorem}

\emph{Démonstration }: Sans perte de généralités, on peut supposer que $\Omega$ est borné. Pour $f \in \mathcal{F}$, on pose $$\bar{f}(x) = \left\{ \begin{array}{l}
f(x) \ \mathrm{si} \ x \in \Omega \\
0 \ \mathrm{sinon}
\end{array}
\right.$$ et on note $\bar{\mathcal{F}} = \{ \bar{f} , f \in \mathcal{F} \} $. $\mathcal{F}$ étant borné dans $L^p(\Omega)$, $\bar{\mathcal{F}}$ est alors borné dans $L^p(\mathbb{R}^N)$. Ayant supposé $\Omega$ borné, le support de chaque élément de $\bar{\mathcal{F}}$ est compact (dans $\bar{\Omega}$) et $\bar{\mathcal{F}}$ est alors borné dans $L^1(\mathbb{R}^N)$ par une constante notée $C$. \\

Considérons $(\rho_{n})_{n \ge 1}$ une approximation de l'unité dans $\mathbb{R}^N$. La démonstration de ce théorème se découpe en trois étapes principales : \\

 $\bullet$ \underline{Première étape} : démontrons que, étant donné $\epsilon > 0$ fixé, $$ \| \rho_{n} \ast \bar{f} - \bar{f} \|_{L^p(\omega)} < \epsilon \ \mathrm{pour\ tout} \ \bar{f} \in \bar{\mathcal{F}} \ \mathrm{et} \ n > 1/\delta.$$
 En effet, pour tout $x \in \omega$ et $n \in \mathbb{N}^{*}$,
 \[ \begin{aligned}
 | \rho_{n} \ast \bar{f}(x) - \bar{f}(x) | &\le \displaystyle \int_{\mathbb{R}^N} |\bar{f}(x-y) - \bar{f}(x)| \rho_{n}(y) \mathrm{d}y \\
 &= \displaystyle \int_{\mathbb{R}^N} |\bar{f}(x-y) - \bar{f}(x)| \rho_{n}(y)^{\frac{1}{p}} \rho_{n}(y)^{1 - \frac{1}{p}}  \mathrm{d}y.
 \end{aligned} \]
 Puisque $\rho_{n} \in \mathcal{C}_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^N)$ et $\bar{f} \in L^p(\mathbb{R}^N)$, on a $|\bar{f}(x - \cdot ) - \bar{f}(x)| \rho_{n}^{\frac{1}{p}} \in L^p(\mathbb{R}^N)$ et $\rho_{n}^{1 - \frac{1}{p}} \in  L^q(\mathbb{R}^N)$ où $1/p + 1/q = 1$. Par l'inégalité de Hölder appliquée à la dernière intégrale, on obtient $$ | \rho_{n} \ast \bar{f}(x) - \bar{f}(x) | \le \left( \displaystyle \int_{\mathbb{R}^N} |\bar{f}(x-y) - \bar{f}(x)|^p \rho_{n}(y)  \mathrm{d}y \right)^{\frac{1}{p}}  \left( \displaystyle \int_{\mathbb{R}^N} \rho_{n}^{q(1 - \frac{1}{p})} \right)^\frac{1}{q}$$ et, en observant que $q(1 - \frac{1}{p}) = 1$ et que $\rho_{n}$ est une identité approchée, il vient $$ | \rho_{n} \ast \bar{f}(x) - \bar{f}(x) | \le \left( \displaystyle \int_{\mathbb{R}^N} |\bar{f}(x-y) - \bar{f}(x)|^p \rho_{n}(y)  \mathrm{d}y \right)^{\frac{1}{p}}.$$
 En élevant cette dernière inégalité à la puissance $p$, on a
 $$ | \rho_{n} \ast \bar{f}(x) - \bar{f}(x) |^p \le \displaystyle \int_{\mathbb{R}^N} |\bar{f}(x-y) - \bar{f}(x)|^p \rho_{n}(y)  \mathrm{d}y.$$
 Finalement, en intégrant l'inégalité précédente sur $\omega$ et en utilisant le théorème de Fubini, on obtient 
\[ \begin{aligned} \displaystyle \int_{\omega}^{} | \rho_{n} \ast \bar{f}(x) - \bar{f}(x) |^p &\le \int_{\omega} \displaystyle \int_{B(0, \frac{1}{n})} |\bar{f}(x-y) - \bar{f}(x)|^p \rho_{n}(y)  \mathrm{d}y \mathrm{d}x \\
& = \displaystyle \int_{B(0, \frac{1}{n})} \rho_{n}(y) \displaystyle \int_{\omega}^{} |\bar{f}(x-y) - \bar{f}(x)|^p \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\
& =  \displaystyle \int_{B(0, \frac{1}{n})} \rho_{n}(y) \| \tau_{y}f - f\|^{p}_{L^p(\omega)} \mathrm{d}y. \end{aligned}  \]
Dès lors que $n > 1/\delta$, d'après les hypothèses de l'énoncé, on a bien $$ \| \rho_{n} \ast \bar{f} - \bar{f} \|_{L^p(\omega)} < \epsilon \ \mathrm{pour\ tout} \ \bar{f} \in \bar{\mathcal{F}}.$$

$\bullet$ \underline{Deuxième étape} : démontrons que, pour chaque entier $n \ge 1$, la famille $\mathcal{H}_{n} := (\rho_{n} \ast \bar{\mathcal{F}} )_{| \bar{w}}$ vérifie les hypothèses du théorème d'Ascoli, rappelé ci-dessous.

\begin{theorem}[Ascoli]
Soit $K$ un espace métrique compact, et $E$ un espace vectoriel normé. Notons $\mathcal{C}(K,E)$ l'ensemble des fonctions continues de $X$ dans $E$. Soit $G$ un sous ensemble de $\mathcal{C}(K,E)$.

Alors, $G$ est relativement compacte dans $\mathcal{C}(K,E)$ si et seulement si les deux hypothèses suivantes sont vérifiées : \newline \newline  \hspace*{1cm} (i) pour tout $x \in K$, $\{ g(x), g \in G \}$ est relativement compacte dans $E$, \newline \newline  \hspace*{1cm} (ii) $G$ est uniformément équicontinue, c'est à dire 
$$ \forall \epsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x, y \in K, \|x-y\| < \delta \Rightarrow \forall g \in G, \ \|g(x) - g(y)\| < \epsilon.$$
\end{theorem}

D'une part, pour $x \in \bar{\omega}$, on a  \[ \begin{aligned} |\rho_{n} \ast \bar{f}(x) | &\le \| \rho_{n} \|_{\infty} \|\bar{f}\|_{L^1(\mathbb{R}^N)} \\
& \le C \cdot \| \rho_{n} \|_{\infty} \end{aligned}  \]
et l'hypothèse (i) du théorème d'Ascoli est alors vérifiée.

D'autre part, pour tous $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^N$ et $\bar{f} \in \bar{\mathcal{F}}$, on a 
\[ \begin{aligned} |(\rho_{n} \ast \bar{f})(x_1) - (\rho_{n} \ast \bar{f})(x_2)| &\le \|x_1 - x_2 \| \|\rho_{n} \|_{Lip} \| \bar{f} \|_{L^1(\mathbb{R}^N)} \\ & \le C \|\rho_{n} \|_{Lip}  \|  \|x_1 - x_2 \|  \end{aligned}   \]
où
$$ \|\rho_{n} \|_{Lip} = \sup_{z_1 \not= z_2} \frac{ \| \rho_n(z_1) - \rho_n(z_2) \| }{\| z_1 - z_2 \|} < +\infty.$$

Il en résulte, d'après le théorème d'Ascoli, que la famille $\mathcal{H}_{n}$ est relativement compacte dans $\mathcal{C}(\bar{\omega}, \mathbb{C})$ et donc dans $L^p(\omega)$. \\

\underline{Troisième étape} : Conclusion de la démonstration. Étant donné $\epsilon > 0$, on fixe $n > 1/\delta$ de sorte que $$ \| \rho_{n} \ast \bar{f} - f \|_{L^p(\omega)} < \frac{\epsilon}{2} \ \mathrm{pour\ tout} \ \bar{f} \in \bar{\mathcal{F}}.$$

La famille $\mathcal{H}_{n}$ étant relativement compacte dans l'espace complet $L^p(\omega)$, on peut recouvrir $\mathcal{H}_{n}$ par un nombre fini de boules de rayon $\epsilon / 2$ dans $L^p(\omega)$, i.e $$ \mathcal{H}_{n} \subset \bigcup_{i=1}^{k} B(f_{i}, \frac{\epsilon}{2})$$ où $f_1, ..., f_k \in L^p(\omega)$. \\ Pour $f \in \mathcal F_{|\omega}$, si $i \in \{1,...,k\}$, en écrivant $f - f_i = f - \rho_{n} \ast \bar{f} + \rho_{n} \ast \bar{f} - f_i$, on obtient $\| f - f_i \|_{L^p(\omega)}  < \epsilon$, d'où $$ \mathcal F_{|\omega} \subset \bigcup_{i=1}^{k} B(f_{i}, \epsilon) $$ ce qui prouve que $F_{|\omega}$ est relativement compact dans $L^p(\omega)$ (un ensemble précompact dans un espace complet étant compact). $\qquad \Box $

\begin{corol}
Soit $G \in L^1(\mathbb{R}^N)$ une fonction fixée et soit $\mathcal{F} = G \ast \mathcal{B}$ où $\mathcal{B}$ désigne un sous ensemble borné de $L^p(\mathbb{R}^N)$, avec $1 \le p < + \infty$. \\
Alors $\mathcal F_{|\omega}$ est relativement compact dans $L^p(\omega)$ pour tout ouvert borné $\omega$ de $\mathbb{R}^N$.
\end{corol}

\emph{Démonstration} : Si $u \in \mathcal{B}$, on a $G \ast u \in L^p(\mathbb{R}^N)$ et 
\[ \begin{aligned} \| G \ast u \|_{p} &\le \|g\|_1 \|u\|_p  \\
& \le M \cdot \|g\|_1  \end{aligned}   \] pour une certaine constante $M$ bornant $\mathcal{B} $ dans $L^p(\mathbb{R}^N)$. Ainsi, $\mathcal{F}$ est borné dans $L^p(\mathbb{R}^N)$. \\
De plus, si $f = G \ast u$ avec $u \in \mathcal{B}$, on a 
\[ \begin{aligned} \|\tau_{h}f - f\|_{L^p(\mathbb{R}^N)} &= \| (\tau_{h}G - G) \ast u \|_{L^p(\mathbb{R}^N)} \\
& \le M \cdot \| \tau_{h}G - G \|_{L^1(\mathbb{R}^N)}.  \end{aligned}   \]

On conclut grâce au lemme suivant :

\begin{lemme}[Continuité de l'opérateur translation dans $L^q(\mathbb{R}^N)$]
Soit $G \in L^q(\mathbb{R}^N)$, où $1 \le q < + \infty$. Alors
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \| \tau_{h}G - G \|_{L^q(\mathbb{R}^N)} = 0 $$
\end{lemme}

\emph{Démonstration} : Soit $\epsilon > 0$ donné. L'ensemble $\mathcal{C}_c(\mathbb{R}^N)$ étant dense dans $L^q(\mathbb{R}^N)$, il existe $G_1 \in \mathcal{C}_c(\mathbb{R}^N)$ de sorte que $\|G - G_1\|_q < \epsilon.$ \\
On a, pour tout $h \in \mathbb{R}^N$,
\[ \begin{aligned} \| \tau_{h}G - G \|_q & \le \| \tau_{h}G - \tau_{h}G_1 \| + \| \tau_{h}G_1 - G_1 \|_q + \|G_1 - G \|_q \\
& \le 2 \epsilon + \| \tau_{h}G_1 - G_1 \|_q. \end{aligned} \]
D'autre part, l'utilisation du théorème de convergence dominée assure que $$ \lim_{h \rightarrow 0} \| \tau_{h}G_1 - G_1 \|_q = 0.$$
Ainsi, $$ \limsup_{h \rightarrow 0} \| \tau_{h}G - G \|_q \le 2 \epsilon $$ et ce pour tout $\epsilon > 0$, ce qui prouve le lemme énoncé. $\qquad \Box $ \\
\newline
{\large \textbf{Références}} \\
\newline
H.Brézis, \emph{Analyse fonctionnelle}.



\end{document}