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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
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\newtheorem*{exe}{Exemple}
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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Racine carr�e d'une matrice sym�trique r�elle positive} 
\date{2012-2013}
\maketitle

\begin{prop}
Soit $H\in S_n^+(\mathbb R)$.

Alors il existe une unique matrice $R\in S_n^+(\mathbb R)$ telle que $H=R^2$.
\end{prop}

\begin{proof}
~~
\begin{itemize}
	\item Existence : 
$H$ est sym�trique r�elle donc il existe $P\in O_n(\mathbb R)$ telle que : \[{}^tPHP=D=\text{diag}(\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)\]
avec $\lambda_i\in\mathbb R_+$.

On pose $S:=\text{diag}(\sqrt{\lambda_1},\dotsc,\sqrt{\lambda_n})$, on a $S^2=D$.

Alors $R:=PS{}^tP\in S_n^+(\mathbb R)$ et $R^2=H$.

\bigskip
	\item Unicit� : Soit $R\in S_n^+(\mathbb R)$ telle que $R^2=H$.
	
	Soient $r$ et $h$ les endomorphismes associ�s dans la base canonique, $h$ est autoadjoint et $Sp(h)\subset\mathbb R_+$.
	
	On note $E_{\lambda_i}$ les sous-espaces propres correspondants � $h$, alors $r$ commute avec $h$ car $r^2=h$, donc $E_{\lambda_i}$ est stable par $r$.
	
	On note $r_i=r_{|E_{\lambda_i}}$, on a $r_i^2=\lambda_i\text{id}_{E_{\lambda_i}}$.
	
	Donc si $\mu\in Sp(r_i), \mu^2=\lambda_i$, donc $\mu=\sqrt{\lambda_i}$ (car $r_i$ est autoadjoint positif).
	
	$r_i$ n'a qu'une seule valeur propre et est diagonalisable, donc $r_i=\sqrt{\lambda_i}\text{id}_{E_{\lambda_i}}$.
\end{itemize}
\end{proof}
\end{document}