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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
\newtheorem*{cor}{Corollaire}
\newtheorem*{thm}{Th�or�me}

\theoremstyle{definition}
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\newtheorem*{exe}{Exemple}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}
\newcommand\prodsc[2]{\langle #1\,|\,#2\rangle}

\begin{document}

\title{Th�or�me de repr�sentation de Riesz}
\date{2012-2013}
\maketitle

Soit $H$ un espace de Hilbert muni d'un produit scalaire $\prodsc{\cdot}{\cdot}$.

\begin{thm}
Soit $f$ une forme lin�aire continue sur $H$, alors il existe un unique $y\in H$ tel que :
\[\forall x\in H, f(x)=\prodsc{y}{x}\]
\end{thm}

\begin{proof}
$F:=\ker f$ est ferm� car $f$ est continue.
\begin{itemize}
	\item Existence : Si $F^\bot=\{0\}$, alors $(F^\bot)^\bot=F=H$ donc $f=0$ et on prend $y=0$.
	
	Sinon, soit $w\in F^\bot$ tel que $\|w\|=1$.
	
	On a $f(w)\neq 0$ et pour $x\in H$,
	
	\[x-\frac{f(x)}{f(w)}w\in\ker f=F\]
	
	Donc :
	\[\prodsc{w}{x-\frac{f(x)}{f(w)}w}=0\]
	D'o�, pour $x\in H$,
	\[f(x)=f(x)\prodsc{w}{w}=f(w)\prodsc{w}{x}=\prodsc{y}{x}\]
	en posant $y=\overline{f(w)}w$.
	\item Unicit� : Soit $y_1,y_2\in H$ tel que pour tout $x\in H$, $\prodsc{y_1}{x}=f(x)=\prodsc{y_2}{x}$.
	Alors en prenant $x=y_1-y_2$, on obtient $\prodsc{y_1-y_2}{y_1-y_2}=0$, d'o� $y_1=y_2$.
\end{itemize}
\end{proof}
\end{document}