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\title{La ruine du joueur}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
 Le joueur et la banque ont respectivement une fortune $a$ et $b$. Combien de temps vont-ils jouer avant la ruine de l'un des deux, et quelle est la probabilité $\rho$ que le joueur sorte gagnant ? 
\end{abstract}


Soient $(Y_n)_{\mathbb{N}}$ i.i.d. de loi $p\delta_{-1}+q\delta_1$, $S_n=a+\sum_1^n Y_j$, $T=\inf\{n\in\mathbb{N}^*|S_n= ou a+b\}$ (c'est un temps d'arrêt). Si $p=q=\frac12$ (resp. $<$, $>$), $S_n$ est une martingale (resp. sur, sous)

\section*{Si $p< q$}
$X_n=S_n-n(p-q)$ est alors une martingale, au temps d'arrêt borné $T\wedge n$ on a
\[a=\mathbb{E}X_0=\mathbb{E}\big[S_{T\wedge n}-(T\wedge n) (p-q)\big]\]

Or $\forall n$, $0\leq S_{T\wedge n} \leq a+b$ donc $0\leq(p-q)\mathbb{E}\big[T\wedge n \big]\leq b$

\bigskip

$S_{n\wedge T}$ est borné donc converge p.s., or $S_n$ ne converge nulle part ($|S_{n+1}-S_n|=1$) donc $T$ est p.s. fini.
Par Beppo Levi on a $\mathbb{E}T=\lim_n\nearrow\mathbb{E}\big[T\wedge n \big]$. $S_{T\wedge n}$ converge alors p.s. (et donc $L^1$ car $S_{n\wedge T}\in L^\infty$) vers $S_T$, et on a
\[(p-q)\mathbb{E}T=\mathbb{E}S_T-a := (a+b)\rho -a\]

\bigskip

Soit $s>0$, posons $U_n=s^{S_n}$, on a $\mathbb{E}\big(U_n|\mathcal{F_{n-1}}\big)=U_{n-1}(sp+\frac1sq)$, c'est donc une martingale si $s$ est racine de $s^2p-s+q=0$, c'est-à-dire pour $s=1$ ou $s=\frac qp$. Pour $s=\frac pq <1$, la martingale est non constante
comprise entre 0 et 1, donc $U_{T\wedge n}$ est borné dans $L^\infty$, en particulier équi-intégrable et converge ainsi p.s. et dans $L^1$ vers $U_T$, d'espérance $(1-\rho)+\rho(\frac qp)^{a+b}$

\bigskip

D'autre part
\[(\frac qp)^a = \mathbb{E}U_0 = \mathbb{E}U_{T\wedge n} \rightarrow \mathbb{E}U_T\]
Ce qui fournit finalement :

\[\rho = \frac{1-(\frac qp)^a}{1-(\frac qp)^{a+b}}\, \text{ et } \, \mathbb{E}T=\frac1{p-q}\Big[\frac{1-(\frac qp)^a}{1-(\frac qp)^{a+b}}-a\Big]\]

\section*{Si $p=q=\frac12$}

$(S_n)$ est une martingale dans $L^2$ donc son carré est une sous-martingale.
\[\mathbb{E}\big(Y_n^2|\mathcal{F}\big)=1\]
Ainsi $S_n^2-n$ est une martingale, et on a $\forall n$
\[a^2=\mathbb{E}S_0^2=\mathbb{E}\big[S_{T\wedge n}^2-T\wedge n\big]\]

$S_{T\wedge n}^2\leq(a+b)^2$ et Beppo-Levi donnent à nouveau que $T$ est intégrable -en particulier presque sûrement fini - ainsi $S_{T\wedge n}$ (bornée dans $L^\infty$) converge p.s., dans $L^1$ et $L^2$ vers
$S_T$. On a alors
\[a=\mathbb{E}S_0=\mathbb{E}S_{T\wedge n} \rightarrow \mathbb{E}S_T := (a+b)\rho\]

Donc $\rho=\frac a{a+b}$, et d'autre part
\[a^2=\mathbb{E}\big[S_{T}^2-T\big]\]
Donc
\[(a+b)^2\rho=\mathbb{E}T=\mathbb{E}S_{T}^2-a^2\]
On obtient ainsi
\[\mathbb{E}T=ab\]

\section*{Référence}
Ouvrard, ``Probabilités 2''
\end{document}
