\documentclass[10pt,a4paper]{article}


\usepackage{a4}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{aeguill}

\usepackage{amsmath, amsthm}
\usepackage{amsfonts,amssymb}

\usepackage{geometry}
\geometry{scale=0.75, nohead}
\parindent = 0cm


\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\V}{\mathbb{V}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\U}{\mathbb{U}}
\renewcommand{\L}{\mathbb{L}}
\newcommand{\rme}{{\rm e}}
\newcommand{\rmi}{{\rm i}}
\newcommand{\1}{\textbf{1}}
\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
\newcommand{\Fc}{\mathcal{F}}
\newcommand{\id}{{\rm Id}}
\newcommand{\vect}{{\rm vect}}
\newcommand{\trace}{{\rm tr}}
\renewcommand{\hom}{{\rm Hom}}
\renewcommand{\Im}{{\rm Im}}
\renewcommand{\mid}{~\middle | ~}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\mycdot}{\!\cdot\!}
\newcommand\quotient[2]{
        \mathchoice
            {% \displaystyle
                \text{\raise1ex\hbox{$#1$}\Big/\lower1ex\hbox{$#2$}}%
            }
            {% \textstyle
                #1\,/\,#2
            }
            {% \scriptstyle
                #1\,/\,#2
            }
            {% \scriptscriptstyle  
                #1\,/\,#2
            }
}
\newcommand{\ps}{\text{p.s.}}



\newtheorem*{theorembis}{Théorème}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\newtheorem{definition}[theorem]{Définition}
\newtheorem{example}[theorem]{Exemple}

\title{Séries entières avec coupure p.s.}
\author{Gregory Boil \and Tristan Haugomat}
\date{Année 2013-2014}


\begin{document}
\maketitle
Ce développement ce trouve dans \cite{ZQ} dans le chapitre \emph{Théorèmes limites en Probabilité. Applications à l'Analyse}, section \emph{Application des Probabilités à l'Analyse}, sous section \emph{Séries entières avec coupure}.

On appelle $\mathcal{U}(\mathbb{U})$ la loi uniforme sur $\mathbb{U}=\left\{z\in\C\mid |z|=1\right\}$, c'est par exemple la loi de $\rme^{\rmi \Theta}$ avec $\Theta\sim\mathcal{U}([0,2\pi])$.
On ce propose de démontrer le théorème
\begin{theorembis}[Séries entières avec coupure p.s.]
Soit $\sum_{n\geq 0}a_nz^n$ une série de rayon de convergence $1$. Soient $(Z_n)_{n\geq 0}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi $\mathcal{U}(\mathbb{U})$, définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\Fc,\P)$. Alors
\[
\ps,~ \forall a\in\U,~ \text{$a$ est un point singulier de}~ f(z):=\sum_{n\geq 0}Z_na_nz^n .
\]
\end{theorembis}

\section*{Résultats requis}
On va avoir besoin des résultats suivants
\begin{theorem}[Loi du 0-1 de Kolmogorov]\label{Kologorov}
Soit $(\mathcal{A}_n)_n$ une suite de tribus mutuellement indépendante, alors tout élément le la tribu asymptotique $\mathcal{A}_\infty :=\bigcap_{n\geq 0}\bigvee_{k\geq n}\mathcal{A}_k$ est de probabilité $0$ ou $1$.
\end{theorem}
\begin{lemma}[\cite{ZQ} chapitre III section IV]\label{lem1}
Toute série entière de rayon de convergence fini admet un point singulier.
\end{lemma}
\begin{lemma}[\cite{ZQ} chapitre III section IV]\label{lem2}
Soit $f$ une série entière en $0$ de rayon de convergence $1$ et soit $u\in\mathbb{U}$. Alors $u$ est régulier si et seulement si la série entière induit par $f$ et de centre $\frac{u}{2}$ a un rayon de convergence strictement plus grand que $\frac{1}{2}$, i.e.
\[
\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{f^{(n)}\left(\frac{u}{2}\right)}{n!}\right|^\frac{1}{n} < 2.
\]
\end{lemma}

\section*{Étude de $A_u:=\left\{\omega\in\Omega\mid u ~\text{est un point régulier de}~ f_\omega\right\}$ pour $u\in\U$}
On va utiliser la caractérisation de la régularité de $u$ donné par le Lemme \ref{lem2}. Soit $\Fc_n:=\sigma(Z_n)$ et $\Fc_\infty :=\bigcap_{n\geq 0}\bigvee_{k\geq n}\Fc_k$. On a que
\[
f^{(k)}\left(\frac{u}{2}\right) = \sum_{i\geq k}Z_ia_i\frac{i!}{(i-k)!}\left(\frac{u}{2}\right)^{i-k}
\]
est $\bigvee_{i\geq k}\Fc_k$-mesurable. Ainsi $sup_{k\geq n}\left|\frac{f^{(k)}\left(\frac{u}{2}\right)}{k!}\right|^\frac{1}{k}$ est $\bigvee_{k\geq n}\Fc_k$-mesurable et $\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{f^{(n)}\left(\frac{u}{2}\right)}{n!}\right|^\frac{1}{n}$ est $\Fc_\infty$-mesurable. Ainsi
\[
A_u\in\Fc_\infty\subset\Fc
\]
et par la loi du 0-1 (Théorème \ref{Kologorov}) $\P(A_u)\in\{0,1\}$. Enfin, $u$ est un point régulier de $\sum_{n\geq 0}Z_na_nz^n$ si et seulement si $1$ est un point régulier de $\sum_{n\geq 0}(u^nZ_n)a_nz^n$ or $(Z_n)_{n\geq 0}$ et $(u^nZ_n)_{n\geq 0}$ on la même loi, donc
\[
\P(A_u) = \P(A_1).
\]

\section*{Preuve du théorème}
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite dense de $\U$, alors comme l'ensemble des points régulier est un ouvert de $\U$ on a
\begin{align*}\begin{array}{l}
\left\{\forall u\in\U,~ u \text{ est un point régulier de } f\right\} = \left\{\forall n\in\N,~ u_n \text{ est un point régulier de } f\right\} \in \Fc_\infty , \\
\left\{\exists u\in\U,~ u \text{ est un point régulier de } f\right\} = \left\{\exists n\in\N,~ u_n \text{ est un point régulier de } f\right\} \in \Fc_\infty . \\
\end{array}\end{align*}
Ainsi en utilisant que pour tout $u\in\U$, $\P(A_u) = \P(A_1)\in\{0,1\}$ on a
\begin{align*}\begin{array}{l}
\P\left(\forall u\in\U,~ u \text{ est un point régulier de } f\right)
= \P\left(\forall n\in\N,~ u_n \text{ est un point régulier de } f\right)
= \P(A_1) \\
\P\left(\exists u\in\U,~ u \text{ est un point régulier de } f\right)
= \P\left(\exists n\in\N,~ u_n \text{ est un point régulier de } f\right)
= \P(A_1) \\ 
\end{array}\end{align*}
Ainsi comme toute série entière de rayon de convergence $1$ possède un point régulier (Lemme \ref{lem1}), on conclut
\[
\P\left(\exists u\in\U,~ u \text{ est un point régulier de } f\right)
= \P\left(\forall u\in\U,~ u \text{ est un point régulier de } f\right)
= 0
\]


\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{ZQ}
Hervé Queffélec, Claude Zuily,
\emph{Analyse pour l'agrégation (4e édition)},
Dunod,
2013.
\end{thebibliography}

\end{document}