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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
\newtheorem*{cor}{Corollaire}
\newtheorem*{thm}{Th�or�me}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{D�finition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}
\newtheorem*{cexe}{Contre-exemple}
\newtheorem*{app}{Application}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\dt}{\,\mathrm d}
\newcommand{\transp}{\,{}^t\!}

\title{Sous-groupes compacts de $GL_n(\RR)$.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\qquad R�f�rence : Michel Alessandri, \emph{Th�mes de G�om�trie : groupes en situation g�om�trique}, Dunod, 1999, p.141,160.

\begin{thm}
Tout sous-groupe compact de $GL_n(\RR)$ est conjugu� � sous-groupe de $O_n(\RR)$.
\end{thm}
\begin{lemme}
Soit $E$ un $\RR$-espace vectoriel de dimension finie, $K$ un convexe compact de $E$ et $H$ un sous-groupe compact de $GL(E)$.\\
Si $K$ est stable par $H$, alors il existe $a\in K$ fix� par tous les �l�ments de $H$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Soit $\|\cdot\|$ une norme euclidienne sur $E$. Pour $x\in E$, on d�finit 
\[N(x):=\sup_{u\in H}\|u(x)\|=\max_{u\in H}\|u(x)\|,\]
l'existence du maximum �tant garantie par compacit� de $H$.

Alors $N$ est une norme sur $E$ :
\begin{itemize}
	\item Si $N(x)=0$, on a $\|\text{id}_E(x)\|=0$, d'o� $x=0$.
	\item $N(\lambda x)=|\lambda|N(x)$.
	\item Finalement,
	\begin{align*}
	N(x+y)&=\max_{u\in H}\|u(x+y)\|\\
	&\le\max_{u\in H}(\|u(x)\|+\|u(y)\|)\\
	&\le\max_{u\in H}\|u(x)\|+\max_{u\in H}\|u(y)\|\\
	&=N(x)+N(y).
	\end{align*}
\end{itemize}
De plus, $N$ est invariante par $H:N(v(x))=N(x)$ pour tout $v\in H$ car $u\mapsto u\circ v$ est une bijection de $H$.\\
Enfin, montrons que $N$ est une norme strictement convexe.\\
Soit $x,y\in E$ tels que $N(x+y)=N(x)+N(y)$. Soit $u_0\in H$ tel que $N(x+y)=\|u_0(x+y)\|$. On a alors
\[N(x+y)=\|u_0(x)+u_0(y)\|\le\|u_0(x)\|+\|u_0(y)\|\le N(x)+N(y)=N(x+y),\]
d'o� $\|u_0(x)+u_0(y)\|=\|u_0(x)\|+\|u_0(y)\|$ et donc $u_0(x)$ et $u_0(y)$ sont positivement li�s car $\|\cdot\|$ est une norme euclidienne, il en est donc de m�me de $x$ et $y$ par lin�arit� et inversibilit� de $u_0$.

$K$ �tant compact, il existe $a\in K$ de norme minimale pour $N$. De plus, $a$ est unique. En effet, si $a'$ est de norme minimale pour $N$, alors $\frac{a+a'}2\in K$ car $K$ est convexe et
\[N(a)\le N\left(\frac{a+a'}2\right)\le\frac{N(a)+N(a')}2=N(a)\]
donc $a$ et $a'$ sont positivement li�s donc �gaux car de m�me norme.

Pour $v\in H$ on a $v(a)\in K$ car $K$ est stable par $H$ et $N(v(a))=N(a)$ donc $v(a)=a$, ce qui montre que $a$ est fixe par tous les �l�ments de $H$.
\end{proof}
\begin{proof}[D�monstration du th�or�me]
Soit $G$ un sous-groupe compact de $GL_n(\RR)$. Alors $G$ agit sur l'espace $E$ des matrices sym�triques par congruence, ce qui d�finit l'antimorphisme suivant :
\begin{align*}
\rho:G&\longrightarrow GL(E)\\
A&\longmapsto (\rho_A:S\mapsto \transp ASA)
\end{align*}
Cet antimorphisme est de plus continu, donc le groupe $H:=\rho(G)$ est un sous-groupe compact de $GL(E)$.

Par ailleurs, l'orbite de $I_n$, qui est l'ensemble $\mathcal E:=\{\transp MM\mid M\in G\}$, est un compact de $E$ donc son enveloppe convexe $K$ est compacte d'apr�s le th�or�me de Carath�odory. De plus $\mathcal E\subset\mathcal S_n^{++}(\RR)$ et $\mathcal S_n^{++}(\RR)$ est convexe donc $K\subset\mathcal S_n^{++}(\RR)$. Enfin, $K$ est stable par $H$ :
\[\rho_A(\transp MM)=\transp(MA)(MA)\in\mathcal E\]
et les �l�ments de $K$ sont combinaisons lin�aires d'�l�ments de $\mathcal E$.

On peut donc appliquer le lemme : il existe $S\in\mathcal S_n^{++}(\RR)$ fix� par tous les �l�ments de $H$, \emph{i.e.} $\transp ASA=S$ pour tout $A\in G$. $G$ est donc contenu dans le groupe orthogonal de la forme quadratique associ�e � $S$, et donc $G$ est conjugu� � un sous-groupe de $O_n(\RR)$.
\end{proof}
\subsection*{D�tails suppl�mentairs}
\begin{prop}
Soit $q$ une forme quadratique associ�e � $S\in\mathcal S_n^{++}(\RR)$.\\
Si $G\subset O(q)$, alors $G$ est conjugu� � un sous-groupe de $O_n(\RR)$.
\end{prop}

\begin{proof}
$S\in\mathcal S_n^{++}(\RR)$ donc il existe $T\in\mathcal S_n^{++}(\RR)$ tel que $S=T^2$.\\
Alors, pour $A\in G$,
\begin{align*}
S&=\transp ASA\\
T^2&=\transp AT^2A\\
I_n&=(T^{-1}\transp AT)(TAT^{-1})\\
I_n&=\transp(TAT^{-1})(TAT^{-1})
\end{align*}
D'o� $TAT^{-1}\in O_n(\RR)$.
\end{proof}
\end{document}