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\title{Surjectivité de l'exponentielle matricielle.}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle

\begin{thm}
L'exponentielle réalise une surjection de $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$
sur $\mathcal{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$.\end{thm}
\begin{proof}
\emph{1.} Commençons par montrer que pour toute matrice $U$ unipotente,
il existe $N$ une matrice nilpotente, qui s'exprime comme un polynôme
en $U$, telle que $\exp\left(N\right)=U$. 

Soit $U$ unipotente, la matrice $U-I_{n}$ est nilpotente et on pose
$N={\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k}\left(U-I_{n}\right)^{k}$
qui est une matrice nilpotente également.

On pose ensuite 
\[
A\left(t\right)=\exp\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{\left(-t\right)^{k+1}}{k}\left(U-I_{n}\right)^{k}}\right)=\exp\left({\displaystyle -\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\left(-t\right)^{k+1}}{k+1}\left(U-I_{n}\right)^{k+1}}\right)
\]
qui est solution du système différentiel 
\[
\left\{ \begin{array}{l}
A^{\prime}\left(t\right)=A\left(t\right)\cdot\left(U-I_{n}\right)\cdot\left(I_{n}+t\left(U-I_{n}\right)\right)^{-1}\\
A\left(0\right)=I_{n}
\end{array}\right.
\]


D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz, il y a une unique solution
définie sur $\mathbb{R}^{+}$. Or, l'application $t\mapsto I_{n}+t\left(U-I_{n}\right)$
est également solution et on en déduit $\exp\left(N\right)=A\left(1\right)=U$
avec $N$ un polynôme en $U$.

\emph{2. }Montrons maintenant la surjectivité de l'exponentielle.

Tout d'abord, pour tout $M\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$,
on a les égalité $\exp\left(M\right)\cdot\exp\left(-M\right)=\exp\left(0_{n}\right)=I_{n}$
et par conséquent $\exp\left(M\right)\in\mathcal{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$.

Réciproquement, soit $M\in\mathcal{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$,
la décomposition de Dunford, que nous verrons dans le théorème \ref{thm1},
nous donne $N$ nilpotente et $D$ diagonalisable, les matrices $N$
et $D$ étant des polynômes en $M$, et telles que $M=D+N$. En posant
$U=N\cdot D^{-1}+I_{n}$, qui est unipotente, on obtient que $M=U\cdot D$.
De plus, la matrice $U$ est un polynôme en $M$, car $D^{-1}$ est
un polynôme en $D$. En effet, si on note $\pi_{D}=a_{0}+a_{1}X+\cdots+a_{r}X^{r}$
le polynôme minimal de $D$, on a $a_{0}\neq0$ sinon $a_{1}+a_{2}X+\cdots+a_{r}X^{r-1}$
annulerait $D$, puisque $M$ et $D$ sont inversibles. Donc $D^{-1}=\frac{-1}{a_{0}}\left(a_{1}+a_{2}D+\cdots+a_{r}D^{r-1}\right)\in\mathbb{C}\left[D\right]\subset\mathbb{C}\left[M\right]$.
D'après ce qui précède, il existe $Q\in\mathbb{C}\left[X\right]$
tel que $\exp\left(Q\left(U\right)\right)=U$.

Il existe $P\in\mathcal{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ et des $\lambda_{i}$
distincts et non nuls tels que $D=P\cdot\mathrm{Diag}\left(\lambda_{1},\dots,\lambda_{1},\dots,\lambda_{r},\dots,\lambda_{r}\right)\cdot P^{-1}$.
Pour chaque $i\in\left\{ 1,\dots,r\right\} $, soit $\alpha_{i}$
tel que $\lambda_{i}=\exp\left(\alpha_{i}\right)$, et soit $R\in\mathbb{C}\left[X\right]$
le polynôme interpolateur de Lagrange tel que $\forall i\in\left\{ 1,\dots,r\right\} ,R\left(\lambda_{i}\right)=\alpha_{i}$.

On a alors 
\[
\begin{array}{rcl}
\exp\left(R\left(D\right)\right) & = & \exp\left(R\left(P\cdot\mathrm{Diag}\left(\lambda_{1},\dots,\lambda_{1},\dots,\lambda_{r},\dots,\lambda_{r}\right)\cdot P^{-1}\right)\right)\\
 & = & P\cdot\exp\left(R\left(\mathrm{Diag}\left(\lambda_{1},\dots,\lambda_{1},\dots,\lambda_{r},\dots,\lambda_{r}\right)\right)\right)\cdot P^{-1}\\
 & = & P\cdot\mathrm{Diag}\left(\exp\left(\alpha_{1}\right),\dots,\exp\left(\alpha_{1}\right),\dots,\exp\left(\alpha_{r}\right),\dots,\exp\left(\alpha_{r}\right)\right)\cdot P^{-1}\\
 & = & P\cdot\mathrm{Diag}\left(\lambda_{1},\dots,\lambda_{1},\dots,\lambda_{r},\dots,\lambda_{r}\right)\cdot P^{-1}=D
\end{array}
\]


Finalement, si l'on pose $A=Q\left(U\right)+R\left(D\right)$, comme
$U$ et $D$ sont des polynômes en $M$, les endomorphismes $Q\left(U\right)$
et $R\left(D\right)$ commutent et $A$ est un polynôme en $M$ vérifiant
\[
\exp\left(A\right)=\exp\left(Q\left(U\right)\right)\cdot\exp\left(R\left(D\right)\right)=U\cdot D=M
\]
\end{proof}
\begin{rem}
On sait que $\exp\left(\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{R}\right)\right)\neq\mathcal{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right)$.
En effet, pour tout $A\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{R}\right)$
on a $\det\left(\exp\left(A\right)\right)=\exp\left(\mathrm{Tr}\left(A\right)\right)>0$,
donc toute matrice de déterminant strictement négatif n'a pas d'antécédent
par l'exponentielle.

On montre que $\exp\left(\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{R}\right)\right)=\left\{ M^{2},M\in\mathcal{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right)\right\} $.\noun{ }

En effet, pour tout $M\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{R}\right)$,
on a $\exp\left(M\right)=\exp\left(\frac{1}{2}M\right)^{2}\in\left\{ M^{2},M\in\mathcal{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right)\right\} $.

Réciproquement, soit $M\in\left\{ M^{2},M\in\mathcal{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right)\right\} $
et $B\in\mathcal{GL}_{n}\left(\mathbb{R}\right)$ tel que $M=B^{2}$.

D'après ce qui précède, il existe $Q\in\mathbb{C}\left[X\right]$
tel que $\exp\left(Q\left(B\right)\right)=B$ et on a les égalités
 $\exp\left(\bar{Q}\left(B\right)\right)=\exp\left(\bar{Q}\left(\bar{B}\right)\right)=\exp\left(\overline{Q\left(B\right)}\right)=\overline{\exp\left(Q\left(B\right)\right)}=\bar{B}=B$.

D'où $\exp\left(\left(Q+\bar{Q}\right)\left(B\right)\right)=B^{2}=M$
avec $\left(Q+\bar{Q}\right)\in\mathbb{R}\left[X\right]$, et donc
$\left(Q+\bar{Q}\right)\left(B\right)\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{R}\right)$.

L'exponentielle n'est injective ni sur $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$
ni sur $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{R}\right)$. En effet,\noun{
}il existe $P\in\mathcal{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$ telle que
\[
\begin{pmatrix}0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}=P^{-1}\begin{pmatrix}i & 0\\
0 & -i
\end{pmatrix}P
\]
 et 
\[
\exp\left(2\pi\begin{pmatrix}0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\right)=P^{-1}\cdot\exp\left(2\pi\begin{pmatrix}i & 0\\
0 & -i
\end{pmatrix}\right)\cdot P=P^{-1}\cdot I_{n}\cdot P=I_{n}=\exp\left(0_{n}\right)
\]

\end{rem}
\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{key-12}M. Zavidovique. \emph{Un max de maths}. Calvage \&
Mounet, 2013.\end{thebibliography}
\end{document}