\documentclass[fleqn,10pt]{article}
%\documentclass[leqno]{report}
%\documentclass[10pt]{article}
\setlength{\parindent}{0cm}%Pas d'indentation au debut des nouveaux paragraphes


\usepackage[all]{xy}%pour les diagrammes commutatifs

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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{enumerate}
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\bibliographystyle{plain}





\usepackage[a4paper,text={16cm,23cm}]{geometry}%text={textwidth,textheight}

\usepackage[nocut,leftmargin=0.5cm]{thmbox}
\newtheorem{theo}{Theorème}
\newtheorem{defi}{Définition}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{coro}{Corollaire}
\newtheorem{lemm}{Lemme}
\newtheorem{conj}{Conjecture}


\DeclareMathOperator{\Vv}{| \! | \! |}
\DeclareMathOperator{\indpt}{\perp \! \! \! \! \perp}
\DeclareMathOperator{\indic}{1\!\!\mathbb{I}}
\DeclareMathOperator{\intg}{[ \! [}
\DeclareMathOperator{\intd}{] \! ]}
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\begin{document}
\begin{center}
\begin{huge}
Table de caractères de $\frak A_5$\\
\end{huge}
\vspace{1cm}
Florian \textsc{Bouguet}\\
\end{center}




\underline{Référence :} \textsc{Ramis, Warusfel} (en grande partie)


\vspace{1cm}


\begin{theo}
La table de caractères de $\frak A_5$ est :
\[\begin{tabular}{r||c|c|c|c|c|}
&\textcolor{orange}{\boxed 1}&\textcolor{orange}{\boxed{20}}&\textcolor{orange}{\boxed{15}}&\textcolor{orange}{\boxed{12}}&\textcolor{orange}{\boxed{12}}\\
&(1)&(123)&(12)(34)&(12345)&(21345)\\
\hline\hline
$\chi_{tr}$&1&1&1&1&1\\
\hline
$\chi_{std}$&4&1&0&-1&-1\\
\hline
$\chi_3$&3&0&-1&$\frac{1+\sqrt5}2$&$\frac{1-\sqrt5}2$\\
\hline
$\chi_3'$&3&0&-1&$\frac{1-\sqrt5}2$&$\frac{1+\sqrt5}2$\\
\hline
$\chi_5$&5&-1&1&0&0\\
\hline
\end{tabular}\]
\end{theo}

\underline{Preuve :}\\

$\blacktriangleright$ \underline{Classes de conjugaison :}\\
On peut montrer sans problèmes que les 3-cycles d'un côté et les doubles-permutations de l'autre sont conjugués. Qu'en-est-il des 5-cycles ? Je vous conseille de faire des petits diagrammes pour illustrer la suite de vos propos. On dénombre 24 5-cycles dans $\frak A_5$, mais on va montrer qu'ils ne sont pas conjugués dans $\frak A_5$. Tout 5-cycle $\sigma$ est conjugué aux autres 5-cycles via un élément de $\frak S_5$, et donc on peut décomposer les 5-cycles en (au plus) deux "groupes" : ceux qui sont conjugués à $\sigma$ via $\frak A_5$, et les autres. Or, les autres sont évidemment conjugués entre eux via $\frak A_5$ (on peut le voir en repassant par $\sigma$ par exemple). On a donc au plus 2 classes de conjugaison pour les 5-cycles. Enfin, (12345) et (21345) ne sont pas conjugués dans $\frak A_5$ car ils sont conjugués via (12) et (12) adjoint à des 5-cycles - par jeu d'écriture. Ils ne peuvent donc pas être conjugués dans $\frak A_5$.\\

$\blacktriangleright$ \underline{$\chi_{tr}$ et $\chi_{std}$ :}\\
Regardons la représentation naturelle de $\frak A_5$ sur $\R^5$ obtenue par permutation des vecteurs de base. Le caractère associé $\chi_{\R^5}$ est la trace d'une matrice de permutation, c'est-à-dire le nombre de 1 sur la diagonale. Autrement dit $\chi_{\R^5}(\sigma)$ est le nombre de points fixes de $\sigma$. Cette représentation laisse $Vect\{(1,1,1,1,1)\}$ stable, il s'agit donc d'une représentation de dimension 1 (la représentation triviale correspondant à $\chi_{tr}$, on peut donc compléter la première ligne). On a alors un caractère de dimension 4, noté $\chi$, tel que
\[\chi=\chi_{\R^5}-\chi_{tr}\]
On en déduit que
\[\chi=[4,1,0,-1,-1]\]
Le calcul nous donne
\[<\chi,\chi>=\frac1{60}\bigg(1\times4^2+20\times1^2+15\times0^2+12\times(-1)^2+12\times(-1)^2\bigg)=1\]

$\chi$ est donc irréductible, on peut donc le noter $\chi_{std}$ (pour "standard") et compléter la deuxième ligne.\\

$\blacktriangleright$ \underline{$\chi_5$ :}\\
Finissons déjà de remplir la première colonne en remarquant que
\[1+4^2+a^2+b^2+c^2=60\Rightarrow a=b=3,c=5\]
Cherchons la représentation de dimension 5. Pour cela, on regarde l'action naturelle de $\frak A_5$ sur les dix paires d'éléments distincts de $\intg 1,5\intd$, telle que
\[\sigma\cdot\{a,b\}=\{\sigma(a),\sigma(b)\}\]
Cela nous livre une représentation ${\R^{10}}$ de degré 10 obtenue comme précédemment, par permutation des vecteurs de base. En remarquant que (123) ne laisse qu'une seule paire invariante (la paire \{4,5\}) et que (12)(34) ne laisse que \{1,2\} et \{3,4\} invariants, on a :
\[\chi_{\R^{10}}=[10,1,2,0,0]\]
Le calcul nous donne $<\chi_{\R^{10}},\chi_{tr}>=<\chi_{\R^{10}},\chi_{std}>=1$, donc les représentations standard et triviale apparaissent une fois et une seule dans ${\R^{10}}$ :
\[\R^{10}=X\oplus Y\oplus Z\]
$X$ est associée à $\chi_{tr}$ et Y est associée à $\chi_{std}$. Pour construire $Z$, il nous reste des représentations de dimensions 3 ou 5 donc $Z$ est irréductible de dimension 5. On en déduit que
\[\chi_5=\chi_{\R^{10}}-\chi_{tr}-\chi_{std}=[5,-1,1,0,0]\]
On peut donc compléter la dernière ligne.

$\blacktriangleright$ \underline{$\chi_3$ et $\chi_3'$ :}\\
Il nous reste à remplir deux lignes. Notons
\[\chi_3=[3,a,b,c,d],\chi_3'=[3,a',b',c',d']\]
Par orthogonalité des caractères on a
\begin{eqnarray*}
<\chi_3,\chi_{tr}>&=&3+20a+15b+12c+12d=0\\
<\chi_3,\chi_{std}>&=&12+20a-12c-12d=0\\
<\chi_3,\chi_{tr}>&=&15-20a+15b=0\\
\end{eqnarray*}
En additionnant les deux premières lignes :
\[15+40a+15b=0\]
En soustrayant la troisième ligne :
\[a=0\]
D'où
\[b=-1\]
Il ne nous reste plus que quatre cases à remplir ! On a également
\[d=1-c\]
De plus $<\chi_3,\chi_3>=1$ donc $c^2+(1-c)^2=3$ donc $2c^2-2c-2=0$. Les racines de $X^2-X-1$ sont $\frac{1\pm\sqrt5}2$. De plus $\chi_3'$ vérifie les mêmes relations, mais $c\neq c'$ et $d\neq d'$. On peut donc conclure.\\\qed





































\end{document}