\documentclass[fleqn,10pt]{article}
%\documentclass[leqno]{report}
%\documentclass[10pt]{article}
\setlength{\parindent}{0cm}%Pas d'indentation au debut des nouveaux paragraphes


\usepackage[all]{xy}%pour les diagrammes commutatifs

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\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1252]{inputenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{array}
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\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{xcolor}
\bibliographystyle{plain}





\usepackage[a4paper,text={16cm,23cm}]{geometry}%text={textwidth,textheight}

\usepackage[nocut,leftmargin=0.5cm]{thmbox}
\newtheorem{theo}{Theorème}
\newtheorem{defi}{Définition}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{coro}{Corollaire}
\newtheorem{lemm}{Lemme}
\newtheorem{conj}{Conjecture}


\DeclareMathOperator{\Vv}{| \! | \! |}
\DeclareMathOperator{\indpt}{\perp \! \! \! \! \perp}
\DeclareMathOperator{\indic}{1\!\!\mathbb{I}}
\DeclareMathOperator{\intg}{[ \! [}
\DeclareMathOperator{\intd}{] \! ]}
\newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand*{\B}{\mathbb{B}}
\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand*{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand*{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand*{\e}{\text{e}}
\newcommand*{\MnR}{\mathcal M_n(\R)}
\newcommand*{\MnC}{\mathcal M_n(\C)}
\newcommand*{\GlnR}{Gl_n(\R)}
\newcommand*{\GlnC}{Gl_n(\C)}
\newcommand*{\SnR}{S_n(\R)}
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\newcommand*{\SnppR}{S_n^{++}(\R)}
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\newcommand*{\HnC}{\mathcal H_n(\R)}
\newcommand*{\HnpC}{\mathcal H_n^{+}(\R)}
\newcommand*{\HnppC}{\mathcal H_n^{++}(\R)}
\newcommand*{\UnC}{U_n(\C)}
\newcommand*{\Var}{\text{Var}}
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\newcommand*{\Tr}{\text{Tr}}
\newcommand*{\Vol}{\text{Vol}}
\newcommand*{\Aut}{\text{Aut}}
\newcommand*{\ord}{\text{ord}}
\newcommand*{\Vect}{\text{Vect}}
\newcommand*{\Conv}{\text{Conv}}








\begin{document}
\begin{center}
\begin{huge}
Table de caractères de $\frak A_5$\\
\end{huge}
\vspace{1cm}
Florian \textsc{Bouguet}\\
\end{center}




\underline{Référence :} \textsc{Peyré} : L'algèbre discrète de la transformée de \textsc{Fourier}


\vspace{1cm}


\begin{theo}
La table de caractères de $\frak S_4$ est :
\[\begin{tabular}{r||c|c|c|c|c|}
&\textcolor{orange}{\boxed 1}&\textcolor{orange}{\boxed 6}&\textcolor{orange}{\boxed 8}&\textcolor{orange}{\boxed 6}&\textcolor{orange}{\boxed 3}\\
&(1)&(12)&(123)&(1234)&(12)(34)\\
\hline\hline
$\chi_{tr}$&1&1&1&1&1\\
\hline
$\chi_\varepsilon$&1&-1&1&-1&1\\
\hline
$\chi_{std}$&3&1&0&-1&-1\\
\hline
$\chi_2$&2&0&-1&0&2\\
\hline
$\chi_3$&3&-1&0&1&-1\\
\hline
\end{tabular}\]
\end{theo}

\underline{Preuve :}\\

$\blacktriangleright$ \underline{Classes de conjugaison :}\\
Le résultat est bien connu, des éléments de $\frak S_4$ sont conjugués si, et seulement si, ils sont de même type.

$\blacktriangleright$ \underline{$\chi_{tr}$ et $\chi_{std}$ :}\\
Regardons la représentation naturelle de $\frak S_5$ sur $\R^4$ obtenue par permutation des vecteurs de base. Le caractère associé $\chi_{\R^4}$ est la trace d'une matrice de permutation, c'est-à-dire le nombre de 1 sur la diagonale. Autrement dit $\chi_{\R^4}(\sigma)$ est le nombre de points fixes de $\sigma$. Cette représentation laisse $Vect\{(1,1,1,1,1)\}$ stable, il s'agit donc d'une représentation de dimension 1 (la représentation triviale correspondant à $\chi_{tr}$, on peut donc compléter la première ligne). On a alors un caractère de dimension 3, noté $\chi$, tel que
\[\chi=\chi_{\R^4}-\chi_{tr}=[3,1,0,-1,-1]\]
Le calcul nous donne
\[<\chi,\chi>=\frac1{24}\bigg(1\times3^2+6\times1^2+8\times0^2+6\times(-1)^2+3\times(-1)^2\bigg)=1\]

$\chi$ est donc irréductible, on peut donc le noter $\chi_{std}$ (pour "standard") et compléter la troisième ligne.\\

$\blacktriangleright$ \underline{$\chi_\varepsilon$ :}\\
$\varepsilon$ est un morphisme de $\frak S_4$ dans $\{-1,1\}$. On a donc une action de groupe linéaire, ou représentation, de degré 1 telle que :
\[\sigma\cdot x=\varepsilon(\sigma)x\]
On peut donc compléter la deuxième ligne. 

$\blacktriangleright$ \underline{$\chi_3$ :}\\
Finissons déjà de remplir la première colonne en remarquant que
\[1+1+3^2+a^2+b^2=24\Rightarrow a=2,b=3\]
On cherche donc deux représentations, l'une de degré 2 et l'autre de degré 3. Considérons l'action naturelle de $\frak S_4$ sur les quatre grandes diagonales du cube de $\R^3$ (on peut montrer que le groupe des isométries positives du cube est isomorphe à $\frak S_4$). Cela nous livre une représentation de $\frak S_4$ de dimension 3 de caractère $\chi$.
\begin{itemize}
	\item $\chi((1))=\Tr(\Id)=3$
	\item $(12)\sim$ Rotation d'angle $\pi$ :\\
	\includegraphics[width=0.28\textwidth]{S1.png}\\
	$\chi((12))=1-2\cos(\pi)=-1$
	\item $(123)\sim$ Rotation d'angle $2\pi/3$ :\\
	\includegraphics[width=0.28\textwidth]{S2.png}\\
	$\chi((123))=1-2\cos(\pi/3)=0$
	\item $(1234)\sim$ Rotation d'angle $\pi/2$ :\\
	\includegraphics[width=0.28\textwidth]{S3.png}\\
	$\chi((123))=1-2\cos(\pi/2)=1$
	\item $(12)(34)\sim$ Rotation d'angle $\pi$ :\\
	\includegraphics[width=0.28\textwidth]{S3.png}\\
	$\chi((123))=1-2\cos(\pi)=-1$
\end{itemize}
On calcule alors $<\chi,\chi>=1$ donc $\chi$ est irréductible, on peut donc le noter $\chi_3$ et compléter la quatrième ligne.\\

$\blacktriangleright$ \underline{$\chi_2$ :}\\
On peut alors déterminer $\chi_2$ par orthogonalité des caractères, et résolvant un système de 4 équations à quatre inconnues.\\\qed

\underline{Remarques :}\\
Il existe deux autre façons de compléter cette table. On peut déterminer $\chi_{std}$ en regardant l'action de $\frak S_4$ comme groupe des isométries du tétraèdre, et étudier l'action de $\frak S_4$ sur le groupe de \textsc{Klein} pour obtenir $\chi_2$\dots


























\end{document}