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\author{Simon Boulier \and Maxime Pouvreau}
\title{218 - Applications des formules de Taylor}

\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\dt}{\ \mathrm{d}t}

% TODO (si on veut chipoter...)%
%D des différentielles droits
% normes
% applications MacLaurin


\begin{document}

\maketitle

$E$ et $F$ sont des evn de dimension finie, $U$ est un ouvert de $E$
et $[a,b]$ est un intervalle non vide de $\RR$.

\section{Théorie}
\subsection{Préliminaires}
\paragraph*{Théorème fondamental de l'analyse}
Si $f \in \Cc(U,F)$ et si $[a,a+h] \subseteq U$ alors
\[ f(a+h) - f(a) = \int_{0}^{1} Df(a+th).h \dt \]

\paragraph*{Théorème des accroissements finis} Soient $f \in
\Cc([a,b],F)$ et $g \in \Cc([a,b],\RR)$ différentiables sur $]a,b[$.
Si $\|f'\| \le \|g'\|$ sur $]a,b[$, alors
\[ \|f(b) - f(a)\| \le g(b) - g(a) \]


\subsection{Formules de Taylor}
\paragraph*{Notation}
On considère $f : U \rightarrow F$ et $a \in U$, et on note :
\[ R_n^a(h) = f(a+h) - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} D^kf(a).(h,h,\dotsc, h) \]
dès que cela a un sens.

\paragraph*{Remarque}
$f \in \Cc^\infty(U,F)$ est polynomiale ssi il existe $n \in \NN$ tel
que $R_n = 0$.

\paragraph*{Taylor-Young}
Si $f$ est $n$ fois différentiable en $a$, alors
\[ R_n^a(h) = o(\|h\|^n) \]

\paragraph*{Taylor-Lagrange}
Si $f$ est $n+1$ fois différentiable sur $U$ et $[a,a+h] \subseteq U$, alors
\[ \|R_n^a(h)\| \le \frac{\|h\|^{n+1}}{(n+1)!} \sup_{[a,a+h]} \|D^{n+1} f\| \]

\paragraph*{Taylor-Reste intégral}
Si $f$ est $\Cc^{n+1}$ sur $U$ et $[a,a+h] \subseteq U$, alors
\[ R_n^a(h) = \int_{0}^{1} \frac{(1-t)^n}{n!}
D^{n+1}f(a+th).(h,h,\dotsc, h) \dt \]


\subsection{Cas réel}
\paragraph*{Taylor-Lagrange (égalité)}
Si $f \in \Cc^n([a,b],\RR)$ et est $n+1$ dérivable sur $]a,b[$, alors il existe
$c \in ]a,b[$ tel que
\[ R_n^a(b-a) = \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c)\]



\section{Applications en analyse}
\subsection{Résultats issus des formules de Taylor}
\paragraph*{Inégalité de Kolmogorov}
Soient $f \in \Cc^n(\RR,\CC)$, $n \ge 2$ et $M_k = \sup_\RR
|f^{(k)}|$. Si $M_0$ et $M_n$ sont finis alors
\begin{itemize}
    \item $\forall k \le n$, $M_k$ est fini
    \item $M_1 \le \sqrt{M_0M_2}$
    \item $\forall k \le n$, $M_k \le 2^{\frac{k(n-k)}{2}}
M_0^{1-\frac{k}{n}} M_n^{\frac{k}{n}}$
\end{itemize}

\paragraph*{Lemme de Bernstein}
Soient $I \subseteq \RR$ et $f \in \Cc^\infty(I,\RR)$. Si $\forall n
\in \NN, f^{(n)} \ge 0$ sur $I$, alors la série de Taylor de f
converge uniformément sur tout compact de l'intérieur $I$ vers $f$.

\paragraph*{Propriété}
Tout zéro d'ordre fini\footnote{ie. tel qu'il existe une dérivée de
$f$ qui ne s'y annule pas} d'une fonction $f \in \Cc^\infty([a,b],F)$
est isolé.

\paragraph*{Théorème de Darboux}
La dérivée d'une fonction dérivable réelle possède la propriété des
valeurs intermédiaires.

\paragraph*{Propriété}
Soient $P \in \RR[X]$ un polynôme ayant au moins une racine réelle
$\alpha$ et $f \in \Cc^\infty(\RR,\RR)$. Si pour tout $n \in \NN$
$|f^{(n)}| \le |P|$ alors f est nulle. \\
Contre-exemple : $\sin x$ et $x^2+1$.


\subsection{Développements limités}
On dit que $f : \RR \rightarrow \RR$ admet un DL en $0$ à l'ordre $n$
si $f$ s'écrit $f(x)= a_0 + a_1x + \dots a_nx^n + o(x^n)$. Si c'est
le cas le DL est alors unique.

La formule de Taylor-Young implique l'existence d'un DL à l'ordre $n$
pour une fonction $n$ fois dérivable.

\paragraph*{Exemples de DL usuels}
\[ e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \dotsb + \frac{1}{n!}x^n + o(x^n) \]
\[ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 +
\dotsb + \frac{\alpha(\alpha-1) \dotsm (\alpha-n+1)}{n!} x^n + o(x^n) \]

\paragraph*{Propriété}
Si $f$ admet un DL en $0$ à l'ordre $n \ge 1$ alors $f$ est dérivable en $0$. \\
Attention ! Ce n'est pas vrai à l'ordre supérieur. Par exemple pour
$f(x) = 1 + x + x^2 +x^3 \sin \frac{1}{x^2}$, $f(0) = 1$ on a $f(x) =
1 + x + x^2 + o(x^2)$ mais $f$ n'est pas deux fois dérivable en $0$.


\subsection{Formule d'Euler-MacLaurin}
Les polynômes de Bernoulli $(B_n)_{n \in \NN}$ et les nombres de
Bernoulli $(b_n)_{n \in \NN}$ sont définis par
\[ \frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\
\qquad \qquad b_n = B_n(0) \]

\paragraph*{Formule}
Soient $m < n \in \ZZ$, $r \le 1$ et $f \in \Cc^r([m,n],\CC)$. On a alors
\[ \frac{f(m) + f(n)}{2}+\sum_{i=m+1}^{n-1}f(i) = \int_{m}^{n} f(t)
\dt + \sum_{i=2}^{r} \frac{b_i}{i!}(f^{(k-1)}(n) - f^{(k-1)}(m)) + R_r
\]
avec $R_r = \frac{(-1)^{r+1}}{r!} \int_{m}^{n} B_r(\{t\}) f^{(r)}(t) \dt$.

\paragraph*{Applications}
\begin{itemize}
    \item Développement asymptotique de $H_n$
    \item Formule de Stirling précisée
    \item Prolongement de $\zeta$ à $\CC\setminus \{1\}$
\end{itemize}



\section{Applications en analyse numérique}
\paragraph*{Proposition} Si $f \in \Cc^2(I,\RR)$ alors $\displaystyle\lim_{h \to 0}
\frac{f(x+h) + f(x-h) - 2 f(x)}{h^2} = f''(x)$.


\subsection{Méthode de Newton}
On cherche à approcher le zéro d'une fonction $f : [a,b] \rightarrow
\RR$. Supposons que $f$ soit $\Cc^2$, que $f(a) < 0 < f(b)$ et que
$f'>0$ sur $[a,b]$. Alors pour $x_0$ suffisamment proche du zéro de
$f$, la suite $(x_n)_{n \in \NN}$ définie par $x_{n+1} = x_n -
\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ converge vers le zéro avec une vitesse
quadratique.

\paragraph*{Exemple : Méthode de Héron} Si on considère $x_0 = 1$ et $x_{n+1} =
\frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}$ ($f(x) = x^2 -2$), on a $x_n
\displaystyle\underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \sqrt{2}$. Et plus précisément on
a :
\[ |x_{n+1} - \sqrt{2}| \le |x_n - \sqrt{2}|^2 \]
d'où $x_{10} \simeq \sqrt{2}$ à $10^{-308}$ près !


\subsection{Approximations d'intégrales}
On dit qu'une méthode de calcul approché est d'ordre $n$ si elle est
exacte pour les polynômes de degré inférieur à $n$.

\paragraph*{Méthodes composés}
On cherche une valeur approchée de l'intégrale de $f : [a,b]
\rightarrow \RR$. Pour cela on subdivise $[a,b]$ : $a = a_0 < a_1 <
\dotsb < a_n =~b$, puis on approche l'intégrale de $f$ sur chaque
segment $[a_i,a_{i+1}]$ par l'intégrale de $P_i$ un polynôme
interpolant $f$ sur ce segment. On note alors $S_n(f) =
\sum\limits_{i=0}^{n-1} \int_{a_i}^{a_{i+1}} P_i$ et $e_n(f) = |S_n(f) -
\int_a^b f|$. On note aussi $h = \max (a_{i+1} - a_i)$ le pas.
\\

\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{changemargin}{-3.6cm}{0cm}
\begin{tabular}{|c|>{\centering}p{5cm}|c|c|c|}
  \hline
  Méthode & $P_i$ & $S_n(f)$ & Ordre & Majorant de $e_n(f)$ \\
  \hline
  Rectangles à gauche & $f(a_i)$ & $\sum\limits_{i=0}^{n-1} (a_{i+1} - a_i)
f(a_i)$ & 0 & $\frac{h(b-a)}{2}M_1$ si $f$ $\Cc^1$ \\
  \hline
  Point milieu & $f(\frac{a_{i+1} + a_i}{2})$ & $\sum\limits_{i=0}^{n-1}
(a_{i+1} - a_i) f(\frac{a_{i+1} + a_i}{2})$ & 1 &
$\frac{h^2(b-a)}{24}M_2$ si $f$ $\Cc^2$ \\
  \hline
  Trapèzes & polynôme d'interpolation\newline de Lagrange en $a_i$ et
$a_{i+1}$ & $\sum\limits_{i=0}^{n-1} (a_{i+1} - a_i) \frac{f(a_{i+1}) +
f(a_i)}{2}$ & 1 & $\frac{h^2(b-a)}{12}M_2$ si $f$ $\Cc^2$ \\
  \hline
  Simpson & polynôme d'interpolation de Lagrange en $a_i$,
$\frac{a_{i+1} + a_i}{2}$ et $a_{i+1}$ & $\sum\limits_{i=0}^{n-1} (a_{i+1} -
a_i) \frac{f(a_{i+1}) + 4f(\frac{a_{i+1} + a_i}{2}) + f(a_i)}{6}$ & 3
& $\frac{h^4(b-a)}{2880}M_4$ si $f$ $\Cc^4$ \\
  \hline
\end{tabular}
\end{changemargin}

\paragraph*{Méthode de Gauss}
On cherche cette fois à approximer l'intégrale de $f$ contre une
fonction poids $w : [a,b] \rightarrow \RR_+^*$ par $\sum\limits_{i=1}^l
\lambda_i f(x_i)$.

\paragraph*{Théorème} Il existe un et un seul choix des $x_i$ et des
$\lambda_i$ tel que la méthode soit d'ordre $2l+1$. Les $x_i$ sont les
racines du $(l+1)$-ème polynôme orthogonal associé à $w$.



\section{Applications en géométrie}
\subsection{Quadriques et extrema}
Soit $f : U \rightarrow \RR$ et $a \in U$.

\paragraph*{Proposition}
Si $f$ admet un minimum local en $a$ et si $f$ est différentaible en
$a$, alors $Df(a)=0$.

\paragraph*{Proposition}
Si $f$ est deux fois différentiables et si $Df(a)=0$ alors :
\begin{itemize}
  \item $a$ minimum local $\Rightarrow$ $D^2f(a)$ positive
  \item $D^2f(a)$ définie positive $\Rightarrow$ $a$ minimum local
\end{itemize}

\paragraph*{Exemple}
$f(x,y) = x^2 - y^3$ n'a pas de minimum local en zéro mais $Df(0)=0$
et $D^2f(0)$ positive.
$g(x,y) = x^2 + y^4$ a un minimum local en zéro donc $Dg(0)=0$ mais
$D^2g(0)$ non définie positive.

\paragraph*{Remarque}
Ce résultat se généralise à l'ordre supérieur.

\paragraph*{Quadriques}
Soit $f : \Omega \subseteq \RR^2 \rightarrow \RR$ deux fois
différentiable en $a$ (un point critique) de Hessienne
$\bigl(\begin{smallmatrix}r&s\\ s&t \end{smallmatrix} \bigr)$ en ce
point. Alors :
\begin{itemize}
  \item si $rt-s^2 > 0$ $f$ admet un extremum local en $a$ (un min si
$r>0$, un max si $r<0$).
  \item si $rt-s^2 < 0$ $f$ n'admet pas d'extremum local en $a$.
  \item si $rt-s^2 = 0$ on ne peut pas conclure.
\end{itemize}


\subsection{Courbes et surfaces}
\paragraph*{Courbe parametrée}
Soit $f: I \rightarrow \RR^2$ une courbe parametrée de classe $\Cc^n$.
Alors la première dérivée non nulle, $f^{(r)}(t_0)$, et la première
dérivée non colinéaire à cele-ci, $f^{(s)}(t_0)$, donnent l'aspect
local de la courbe en $t_0$.
\begin{itemize}
  \item si $r$ est impair et $s$ pair, la courbe ne coupe pas sa
tangente en $t_0$
  \item si $r$ est impair et $s$ impair, $t_0$ est un point d'inflexion
  \item si $r$ est pair et $s$ impair, $t_0$ est un point de
rebroussement de première espèce
  \item si $r$ est pair et $s$ pair, $t_0$ est un point de
rebroussement de seconde espèce
\end{itemize}


\paragraph*{Nappe parametrée}
Soit $f: \Omega \rightarrow \RR^3$ une courbe parametrée de classe
$\Cc^2$. Alors $f(x,y) = a + bx + cy + \frac{1}{2}(rx^2 + 2sxy + ty^2)
+ o(x^2 + y^2)$ en $0$. Le plan tangent en $0$ est $a + bx + cy = 0$
et la position relative est donnée par l'étude de la forme quadratique
$Q(x,y) = rx^2 + 2sxy + ty^2$.
\begin{itemize}
  \item si $Q$ est définie positive, $0$ est un point elliptique.
  \item si $Q$ est non dégénérée mais non définie, $0$ est un point
hyperbolique.
  \item si $Q$ est dégénérée mais non nulle, $0$ est un point parabolique.
\end{itemize}

\paragraph*{Lemme de Morse}
Soient $U \subseteq \RR^n$ un ouvert contenant $0$ et $f \in
\Cc(U,\RR)$. Si $Df(0)=0$ et $D^2f(0)$ est non dégénérée de signature
$(p,n-p)$, alors il existe un difféormorphisme $\phi : x \mapsto u$
entre deux voisinages de $0$ tel que $\phi(0) = 0$ et :
\[ f(x) - f(0) = u_1^2 + \dotsb + u_p^2 - u_{p+1}^2 - \dotsb - u_n^2 \]



\section*{Références}
\begin{itemize}
  \item Beck, V., Malick, J., Peyré, G. (2005). Objectif agrégation:
mathématiques. H \& K.
  \item Cartan, H. (1977). Cours de calcul différentiel. Hermann.
  \item Demailly, J. P. (2012). Analyse numérique et équations
différentielles (Nouvelle édition). EDP sciences.
  \item Francinou, G. Nicolas, Exercices de mathématiques. Oraux
X-ENS. Analyse, 1.
  \item Gostiaux, B. (1993). Cours de mathématiques Spéciales, tome 3:
Analyse fonctionnel et calcul différentiel.
  \item Gourdon, X. (2000). Les maths en tête: analyse: mathématiques
pour M'. Ellipses.
  \item Pommellet, A. (1994). Cours d'analyse.
  \item Queffélec, H., Zuily, C. (2002). \'Eléments d'analyse:
agrégation de mathématiques. Dunod.
  \item Rouvière, F. (1999). Petit guide de calcul différentiel: à
l'usage de la licence et de l'agrégation. Cassini.
\end{itemize}
\end{document}