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\newtheorem{definition}{Définition}
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\newtheorem{proposition}{Proposition}
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\title{Développement~: \\ Théorème de Frobenius}
\date{Année 2013/2014}


\begin{document}
\maketitle

Dans tout ce développement $G$ représente un groupe fini et on considère les représentations de $G$ sur un $\C$-espace vectoriel de dimension fini. On défini par $|G|$ le nombre d'éléments de $G$. En général $V_\bullet$ (resp. $\rho_\bullet$, $\chi_\bullet$) correspond à une représentation (resp. le morphisme, le caractère associé). On suppose connu le théorème de Maschke et lemme de Schur.
\begin{theorem}[Frobenius]
L'ensemble des caractères irréductibles forme une base orthonormale de l'espace des fonctions centrales.
\end{theorem}
Montrons dans un premier temps l'orthonormalité~: soit $V_1$, $V_2$ deux représentations irréductibles. On a~:
\begin{align*}
\overline{\left\langle \chi_1 , \chi_2\right\rangle}
& = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \overline{\chi_1(g)}\chi_2(g)
= \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \chi_{\hom(V_1,V_2)}(g) \\
& = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\trace\left(\begin{array}{ccc}
\hom(V_1,V_2) & \longrightarrow & \hom(V_1,V_2) \\
u & \longmapsto & g\mycdot u \\
\end{array}\right) \\
& = \trace\left(M:\begin{array}{ccc}
\hom(V_1,V_2) & \longrightarrow & \hom(V_1,V_2) \\
u & \longmapsto & \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g\mycdot u \\
\end{array}\right) ,
\end{align*}
où $M$ désigne l'opérateur linéaire dont on prend la trace. Pour $u\in \hom(V_1,V_2)$, $M(u)$ est fixe sous l'action de $G$, ainsi
\[
\Im(M)\subset \hom_G(V_1,V_2).
\]
Il y a deux cas intéressants~:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $V_1 \not\simeq V_2$, par le lemme de Schur $\hom_G(V_1,V_2) = \{0\}$, donc $M=0$ et
\[
\left\langle \chi_1 , \chi_2\right\rangle = 0.
\]
On en déduit l'orthogonalité des caractères.
\item[$\bullet$] Si $V_1 = V_2$, par le lemme de Schur $\hom_G(V_1,V_1) = \vect(\id_{V_1})$. De plus $M(\id_{V_1}) =\id_{V_1}$, donc
\[
\hom(V_1,V_1) = \ker M \oplus \vect(\id_{V_1}) ,
\]
et ces deux sous-espaces sont stable par $M$. Ainsi
\begin{align*}
\overline{\left\langle \chi_1 , \chi_1\right\rangle}
& = \trace(M)
= \trace\left(M_{|\ker M}\right) + \trace\left(M_{|\vect(\id_{V_1})}\right) \\
& = \trace\left(0_{\ker M}\right) + \trace\left(\id_{\vect(\id_{V_1})}\right)
= 0 + 1 = 1.
\end{align*}
\end{itemize}
Donc les caractères irréductibles forment une famille orthonormal de l'espace des fonctions centrales.

Il reste à montrer que c'est une base, pour cela il suffit de montrer que si une fonction centrale est orthogonal à tous les caractères irréductibles, elle est nulle. Soit donc $\varphi$ une fonction centrale orthogonal à tous les caractères irréductibles, on considère $V_G$ la représentation canonique de $G$ et on défini~:
\[
u_\varphi := \sum_{g\in G}\overline{\varphi(g)}\rho_{V_G}(g) .
\]
Grâce au théorème de Maschke on décompose $V_G$ en représentations irréductibles~:
\[
V_G = \bigoplus_{i=1}^kV_i .
\]
On a que $u_\varphi$ stabilise les $V_i$ et de plus
\[
(u_\varphi)_{|V_i} = \sum_{g\in G}\overline{\varphi(g)}\rho_{V_i}(g) : V_i \longrightarrow V_i .
\]
Comme $\varphi$ est central, $(u_\varphi)_{|V_i}$ est un morphisme de représentation, en effet pour $h\in G$~:
\begin{align*}
(u_\varphi)_{|V_i}\rho_{V_i}(h)
& = \sum_{g\in G}\overline{\varphi(g)}\rho_{V_i}(g)\rho_{V_i}(h)
= \sum_{g\in G}\overline{\varphi(g)}\rho_{V_i}(gh)
= \sum_{g\in G}\overline{\varphi(gh^{-1})}\rho_{V_i}(g) \\
& = \sum_{g\in G}\overline{\varphi(hgh^{-1})}\rho_{V_i}(hg)
= \sum_{g\in G}\overline{\varphi(g)}\rho_{V_i}(h)\rho_{V_i}(g)
= \rho_{V_i}(h)(u_\varphi)_{|V_i},
\end{align*}
donc par le lemme de Schur $(u_\varphi)_{|V_i}\in\vect(\id_{V_i})$, calculons sa trace~:
\begin{align*}
\trace\left((u_\varphi)_{|V_i}\right)
= \trace\left(\sum_{g\in G}\overline{\varphi(g)}\rho_{V_i}(g)\right)
= \sum_{g\in G}\overline{\varphi(g)}\trace\left(\rho_{V_i}(g)\right)
= \sum_{g\in G}\overline{\varphi(g)}\chi_i(g)
= 0,
\end{align*}
donc $(u_\varphi)_{|V_i}=0$. Ainsi $u_\varphi = 0$ et en appliquant $u_\varphi$ à $e_1$ on obtient
\[
0 = u_\varphi (e_1) = \sum_{g\in G}\overline{\varphi(g)}g\mycdot e_1 = \sum_{g\in G}\overline{\varphi(g)}e_g.
\]
D'où pour tout $g\in G$, $\overline{\varphi(g)}=0$, i.e. $\varphi = 0$, ce qui conclut la preuve.

\section*{R\'ef\'erences}
Pierre Colmez. \emph{{\'E}l{\'e}ments d'analyse et d'alg{\`e}bre (et de th{\'e}orie des nombres)}. Editions Ecole Polytechnique, 2009.
\end{document}