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\newtheorem*{theo}{Th\'eor\`eme}
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\newtheorem*{pro}{Proposition}
\def\ex{\noindent\textbf{Exemple}}
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\title{Le\c con 228 : continuit\'e et d\'erivabilit\'e des fonctions d'une variable r\'eelle. Exemples, contre-exemples}
\date{14 d\'ecembre 2010}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\begin{document}
\newpage


\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Le th\'eor\`eme de Weierstrass}\end{Large}\footnote{\underline{Les maths en t\^ete}, Xavier GOURDON, page 230}
\end{center}

\begin{theo}[de Weierstrass]
Soient $a,b\in\R$. Toute fonction continue $f$ sur $[a,b]$ est limite uniforme de polyn\^omes sur $[a,b]$. 
\end{theo}\bigskip

\begin{proof}
On commence par d\'emontrer ce th\'eor\`eme sur $[0,1]$. $\forall n\in\N,\forall k\in\lbrace 0,\dots ,n\rbrace$, on note $R_n^k : x\longmapsto C_n^kx^k(1-x)^{n-k}$ et pour toute fonction $f$ continue sur $\displaystyle{[0,1], B_n(f)=\sum_{k=0}^nf\left(\dfrac{k}{n}\right) R_n^k(x)}$ (on remarque ici que pour $f$ continue, $B_n(f)$ est un polyn\^ome). Calculons explicitement \[\begin{array}{ccc}
\displaystyle{\sum_{k=0}^n\left(\dfrac{k}{n}-x\right)^2 R_n^k(x)} & = & \displaystyle{\sum_{k=0}^n\left(\dfrac{k}{n}\right)^2 R_n^k(x)-2x\dfrac{k}{n}R_n^k(x)+x^2R_n^k(x)} \\ 
 & = &\displaystyle{ B_n(x^2)-2xB_n(x)+x^2B_n(1)}
\end{array}\]
(Où $x^n$ remplace par abus la notation $x\longmapsto x^n$)\\
On calcule s\'epar\'ement chacun des trois termes de cette somme. On note au pr\'ealable \[F(a,b)=(a+1-b)^n.=\sum_{k=0}^nC_n^ka^k(1-b)^{n-k}.\]
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $\displaystyle{x^2B_n(1)=x^2\sum_{k=0}^nC_n^kx^k(1-x)^{n-k}=x^2(x+1-x)^n=x^2}$
\item $\displaystyle{B_n(x)=\sum_{k=0}^n\dfrac{k}{n}C_n^kx^k(1-x)^{n-k}=\dfrac{x}{n}\sum_{k=0}^nC_n^kkx^{k-1}(1-x)^{n-k}=\dfrac{x}{n}\sum_{k=0}^nC_n^k(x^k)'(1-x)^{n-k}}$ d'o\`u \[B_n(x)=\dfrac{x}{n}\dfrac{\partial F}{\partial a}(x,x)=\dfrac{x}{n}n(x+1-x)^{n-1}=x.\]
\item $\displaystyle{B_n(x^2)=\sum_{k=0}^nk^2x^{k-1}(1-x)^{n-k}=\dfrac{x}{n^2}\dfrac{\partial }{\partial a}\left(a\dfrac{\partial F}{\partial a} \right)(x,x)=\dfrac{x}{n^2}\left(n(x+1-x)^{n-1}+xn(n-1)(x+1-x)^{n-2} \right)}$ d'o\`u \[B_n(x^2)=x^2+\dfrac{x(1-x)}{n}\].
\end{enumerate}

On r\'einjecte cela dans $\displaystyle{\sum_{k=0}^n\left(\dfrac{k}{n}-x\right)^2 R_n^k(x)=B_n(x^2)-2xb_n(x)+x^2B_n(1)=\dfrac{x(1-x)}{n}}$. Ainsi, on a
\[\sum_{k,|k/n-x|\geq\eta} R_n^k(x)\leq\dfrac{1}{\eta^2}\sum_{k=0}^n\left(\dfrac{k}{n}-x\right)^2 R_n^k(x)=\dfrac{1}{\eta^2}\dfrac{x(1-x)}{n}\leq\dfrac{1}{n\eta^2}\]
Soit alors $\varepsilon>0$. Comme $f$ est continue sur $[0,1]$ (compact) elle est born\'ee et atteint ses bornes. Ainsi, il existe $M$ tel que pour tout $x$ dans $[0,1], |f(x)|\leq M$. Par Heine, $f$ est aussi uniformément continue sur $[0,1]$ id est, pour le $\varepsilon$ fix\'e, $\exists\eta >0,\forall x,x', |x-x'|<\eta\Rightarrow|f(x)-f(x')|<\varepsilon$.\\
On s'int\'eresse \`a
\[|B_n(f)-f(x)|=|B_n(f)-B_n(1)\times f(x)|\leq\left|\sum_{k,|k/n-x|<\eta}\left(f\left(\dfrac{k}{n}\right)-f(x)\right)R_n^k(x)\right|+\left|\sum_{k,|k/n-x|\geq\eta}\left(f\left(\dfrac{k}{n}\right)-f(x)\right)R_n^k(x)\right|\]

\[|B_n(f)-f(x)|\leq\varepsilon\sum_{k,|k/n-x|<\eta}R_n^k(x)+2M\sum_{k,|k/n-x|\geq\eta}R_n^k(x)\leq\varepsilon+\dfrac{2M}{\eta^2n}.\]
Si $N$ est choisi dans $\N$ tel que $\dfrac{2M}{\eta^2n}<\varepsilon,\forall n\geq N$, $|B_n(f)(x)-f(x)|<2\varepsilon,\forall n\geq N,\forall x\in I$. On a donc montré que $B_n(f)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.\\
On se ram\`ene au cas o\`u $I=[a,b]$ en consid\'erant la fonction $g(x)=f(a+(b-a)x),\forall x\in[0,1]$.
\end{proof}

\end{document}