\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{default}
\usepackage{amssymb, amsmath}
\usepackage{enumerate,amssymb, amsthm, amsfonts, amsmath,graphicx}
\usepackage{lmodern}
%opening
\title{Théorèmes de Sylow}

\newtheorem{lem}{Lemme}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Existence d'un $p$-Sylow :}

\begin{lem}
 H \leq G, S $p$-Sylow de G, alors $\exists a\in G$ tel que $aSa^{-1}\cap H$ soit un $p$-Sylow de H.
\end{lem}

\emph{Démo du lemme :} H agit par translation sur G/S, le stabilisateur de $aS$ est $aSa^{-1}\cap H$, la formule des classes donne :

\[p\nmid |G/S|=\sum_{orb}\frac{|H|}{|aSa^{-1}\cap H|}\]

Donc l'un des $aSa^{-1}\cap H$ est d'indice dans H non divisible par $p$ : c'est un p-Sylow de H.

\bigskip

\emph{Démo du Théorème :} Cayley injecte $G$ dans $\Sigma_G$ qui s'injecte dans $GL_n(\mathbb{F}_p)$ par $\sigma\mapsto u_\sigma$ défini par
$u_\sigma (e_i)=e_{\sigma(i)}$

Or $GL_n(\mathbb{F}_p)$ (d'ordre $(p^n-1)(p^n-p)\dots(p^n-p^{n-1})$, en comptant les bases) a un p-Sylow : les matrices triangulaires supérieures
avec des 1 en diagonale (d'ordre $p*p^2*\dots* p^{n-1}$)

\section*{inclusion et conjugué :}

Si H est un $p$-groupe, le $p$-Sylow $aSa^{-1}\cap H$ de H est H lui-m\^eme, donc $H\subset aSa^{-1}$ et si H était un $p$-Sylow il y a égalité.
Ceci entraîne que $n_p|n$ (orbite).

\section*{égalité modulo :}

Un $p$-Sylow S agit par conjugaison sur $X$ les $p$-Sylow. On a $n_p :=|X|=|X^S|[p]$.

Supposons qu'un autre $p$-Sylow $T\neq S$ soit fixé par S, U le sous-groupe de G engendré par S et T (qui en sont des $p$-Sylows) : S normalise T
donc $T\vartriangleleft U$ et donc c'est l'unique $p$-Sylow.

\section*{Groupe simple d'ordre 63}

$63=3^2*7$, $n_7|9$ et $=1[7]$ donc il n'y a qu'un 7-Sylow.

\end{document}
