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\title{Théorème de D'Alembert-Gauss}
\author{d'après S. Gonnord, N. Tosel, \emph{Thèmes d'analyse pour l'agrégation, Calcul Différentiel}}
\date{  }


\begin{document}
\maketitle

\subsection*{Énoncé}
Soit $P : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ application polynomiale non constante. Alors $P^{-1}(\lbrace 0 \rbrace) \neq \emptyset$.

\subsection*{Preuve}
On pose 
\[ S = \lbrace z \in \mathbb{C} / P'(z) = 0 \rbrace, \quad \Lambda = \mathbb{C} \setminus P(S), \quad \Omega = P(\mathbb{C}) \setminus P(S) \]
La preuve se fait en quatre étapes :
\begin{itemize}
\item $\Lambda$ est connexe
\item $\Omega$ est ouvert dans $\Lambda$
\item $\Omega$ est fermé dans $\Lambda$
\item $P$ est surjective.
\end{itemize}
$P'$ est polynomiale non identiquement nulle. Donc elle ne s'annule qu'un nombre fini de fois, i.e. $\sharp S < \infty$. Donc $\sharp P(S) < \infty$. $\Lambda$ est le complémentaire dans $\mathbb{C}$ de cette partie finie, redémontrons brièvement que $\Lambda$ est donc connexe par arcs.

Soit $a, b \in \Lambda$, $a \neq b$. Notons $\mathcal{D}_a$ (resp. $\mathcal{D}_b$) l'ensemble des droites passant par $a$ (resp. $b$), $\mathcal{D}_a$ est isomorphe à $[0, 2\pi [$ qui est de cardinal infini, donc $\exists \Delta_a \in \mathcal{D}_a$, $\forall s \in P(S)$, $s \notin \Delta_a$. De même sur $b$ avec une droite $\Delta_b$. Puis, comme $P(S)$ est finie elle est bornée, $ \exists R > 0$, $P(S) \subset B(0,R)$. Si $C_R$ désigne le cercle $\partial B(0,R)$, $a'$ (resp. $b'$) un des deux points d'intersection $\Delta_a \cap C_R$ (resp. $\Delta_b \cap C_R$), le chemin 
\[ a \overset{\Delta_a}{\longrightarrow} a' \overset{C_R}{\longrightarrow} b' \overset{\Delta_b}{\longrightarrow} b \]
relie continuement $a$ à $b$ dans $\Lambda$. $\Lambda$ étant connexe par arcs, il est connexe.

Soit $x \in \Omega$, soit $z \in P^{-1}(x)$. Par définition, $P'(z) \neq 0$. On rappelle que pour une fonction $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$, sa différentielle $f'(z_0)$ en $z_0$ est définie par
\[ \forall w \in \mathbb{C}, \ f(z_0 + w) = f(z_0) + f'(z_0)w + \vert w \vert \varepsilon (w) \]
(où $\varepsilon (w)  \underset{w \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0$). La différentielle de $P$ en $z$ est $P'(z)$, qui est inversible : par théorème d'inversion locale, $\exists U \in \mathcal{V}(z), \exists V \in \mathcal{V}(x), P_{|U} : U \rightarrow V$ difféomorphisme. 

Alors, $V=P(U) \subset P(\mathbb{C})$ est un ouvert de $\mathbb{C}$, et $V \cap \Lambda \subset \Omega \left( =P(\mathbb{C}) \cap \Lambda \right)$. Donc $\Omega$ est ouvert dans $\Lambda$.

Soit $(x_n)_n$ suite de $\Omega$ de limite $x \in \Lambda$. Pour tout $n$ on choisit $z_n \in P^{-1}(x_n)$. Comme $P$ est polynomiale non constante, lorsque $\vert z \vert \rightarrow + \infty$, $\vert P(z) \vert \rightarrow + \infty$.
Comme $(x_n)_n$ est convergente elle est bornée, i.e. $(P(z_n))_n$ est bornée, donc par contraposée de la phrase précédente, $\vert z_n \vert \nrightarrow + \infty$. Ainsi $(z_n)_n$ est une suite bornée de $\mathbb{C}$, par théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une valeur d'adhérence $z$. Or $P$ est continue, donc $P(z)=x$.

$x \in \Lambda$, donc $z \notin S$. Donc $x \in \Omega$. Donc $\Omega$ est fermé dans $\Lambda$.

$\Omega$ est à la fois ouvert et fermé dans $\Lambda$ connexe : $\Omega = \emptyset$ ou $\Omega = \Lambda$. 
$\Omega = \emptyset \Rightarrow P(\mathbb{C}) = P(S)$ qui est de cardinal fini, ce qui est faux. $\Omega = \Lambda$ donne
\[ (\mathbb{C} \setminus P(S)) \subset (P(\mathbb{C} \setminus P(S)) \subset P(\mathbb{C}) \]
donc $\mathbb{P}(\mathbb{C}) = \mathbb{C}$ : P est surjective. Donc $0$ admet un antécédent par $P$.

\end{document}  
