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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
\newtheorem*{cor}{Corollaire}
\newtheorem*{thm}{Théorème}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{Définition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Classification des groupes de pavage du plan}
\date{2012-2013}
\maketitle

\qquad Référence : Rémi Goblot, \emph{Thèmes de géométrie}, Masson, 1998, p.311.

\bigskip
On se place dans $P$ un plan affine euclidien et on considère $\vec P$ son plan vectoriel euclidien associé.

Un réseau est un sous-groupe additif $\mathcal R \subseteq \vec P$ ayant les propriétés :

\begin{itemize}
\item $\mathcal R$ engendre $\vec P$ comme espace vectoriel
\item Toute partie bornée de $\mathcal R$ est finie.
\end{itemize}

\begin{prop}
Les réseaux sont les sous-groupes additifs de $\vec P$ de la forme $\mathbb Z \vec u\oplus \mathbb Z\vec v$, $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires.

Soit $\mathcal R$ un réseau, $\vec u$ de norme minimum parmi les vecteurs non nuls de $\mathcal R$, $\vec v$ de norme minimum parmi les vecteurs non colinéaires à $\vec u$. Alors $\mathcal R=\mathbb Z \vec u\oplus \mathbb Z\vec v$.
\end{prop}

On note $T(P)$ le groupe des translations de $P$.\\
Un sous-groupe $G$ de $\text{Isom}(P)$ est un groupe de pavage si $T:=G\cap T(P)$ est formé des $t_{\vec w}$ où $\vec w$ décrit un réseau $\mathcal R$ de $\vec P$.

\begin{thm}
Soit $G$ un groupe de pavage inclus dans $\text{Isom}^+(P)$ (\emph{i.e.} $G$ est composé de déplacements).\\
Soit $T$ le sous-groupe des translations de $G$ et $\mathcal R$ le réseau associé.\\
On note $\overline G$ le groupe des rotations vectorielles de $G$.\\
Alors :
\begin{itemize}
\item $\overline G$ est cyclique d'ordre $n\in \{1,2,3,4,6\}$.
\item $G=T\rtimes \overline G$
\end{itemize}

Il y a donc 5 groupes de pavage composés de déplacements à isomorphisme près.
\end{thm}

Le produit semi-direct est le même que celui de Isom$(P)$.

\begin{proof}
Soit $f\in G$. Pour tout $\vec w\in \mathcal R$, $ft_{\vec w}f^{-1}=t_{\vec f(\vec w)}\in G$, donc $\vec f(\vec w)\in \mathcal R$, donc $\mathcal R$ est stable par $\vec f$.

Soit $(\vec u,\vec v)$ une base de $\mathcal R$. Alors

\[\text{Mat}_{(\vec u,\vec v)}(\vec f)=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\]
est à coefficients entiers.\\
Or $f\in \text{Isom}^+(P)$ donc $f$ est une rotation d'angle $\theta$ et on a :\\
Tr$(f)=a+d=2\cos \theta\in \{-2,-1,0,1,2\}$, d'où :
\[\theta\in \left\{\pi,\frac{2\pi}{3},-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3},0\right\}\]

Le groupe $\overline G$ est donc un groupe de rotations vectorielles fini, donc cyclique d'ordre appartenant à $\{1,2,3,4,6\}$.

\bigskip
Décrivons maintenant $G$ en fonction de l'ordre $n$ de $\overline G$. Pour cela, on définit :
\[\mathcal E:=\left\{M\in P\ /\ r_M:=\text{rot}\left(M,\frac{2\pi}{n}\right)\in G\right\}\]
et on va étudier l'action naturelle de $T$ sur $\mathcal E$.

On pose aussi $\overline G=<r>$ où $r$ est la rotation vectorielle $r:=\text{rot}\left(\frac{2\pi}{n}\right)$.

Si $n=1$, alors $G=T$. On suppose dorénavant $n>1$.

Montrons que $\mathcal E$ est un réseau affine dont le réseau vectoriel associé $\vec{\mathcal E}$ est image de $\mathcal R$ par l'application linéaire $(\vec{\text{id}}-r)^{-1}$.

Soit $\Omega\in \mathcal E$. Alors
\[M\in \mathcal E \iff r_M\in G \iff t_{\vec w}:=r_Mr_\Omega^{-1}\in T\]
Cherchons le lien entre $\overrightarrow{\Omega M}$ et $\vec w$.

On a
\[t_{\vec w}\,r_\Omega=r_M=t_{\overrightarrow{\Omega M}}\,r_\Omega\,t_{\overrightarrow{M \Omega}}\]
L'expression de gauche donne $r_M(\Omega)=\Omega+\vec w$.

Soit $N=t_{\overrightarrow{M\Omega}}(\Omega)$ le symétrique de $M$ autour de $\Omega$,\\
\emph{i.e.}
\[r_M(\Omega)=r_\Omega(N)+\overrightarrow{\Omega M}\] 
Alors
\[r_\Omega(N)+\overrightarrow{\Omega M}=\Omega+\vec w=r_\Omega(\Omega)+\vec w\]
D'où
\[\vec w=r(\overrightarrow{\Omega N})+\overrightarrow{\Omega M}=(\vec{\text{id}}-r)(\overrightarrow{\Omega M})\]
On en déduit
\[M\in \mathcal E\iff \overrightarrow{\Omega M}=(\vec{\text{id}}-r)^{-1}(\vec w)\]
pour un certain $\vec w\in \mathcal R$.

\bigskip
\begin{itemize}
\item Supposons $n=2$, alors $r=-\vec{\text{id}}$.

$\vec{\mathcal E}$ est donc l'image de $\mathcal R$ par l'homothétie vectorielle de rapport $\frac{1}{2}$.

Il y a ici $4$ orbites pour l'action de $T$ : si $(\vec u, \vec v)$ est une base de $\mathcal R$, les $4$ orbites sont $\Omega+\mathcal R$, $\Omega+\frac{1}{2}\vec u+\mathcal R$, $\Omega+\frac{1}{2}\vec v+\mathcal R$ et $\Omega+\frac{1}{2}\vec u+\frac{1}{2}\vec v+\mathcal R$, où $\Omega\in \mathcal R$.

\bigskip
\item Supposons $n\in\{3,4,6\}$.

Soit $\vec u$ un vecteur de $\mathcal R$ de norme minimum et $\vec v=r(\vec u)$. Alors $\vec v\in \mathcal R$ et $\|\vec v\|=\|\vec u\|$ donc $\vec v$ est aussi de norme minimum non colinéaire à $\vec u$, donc $(\vec u,\vec v)$ est une base de $\mathcal R$ par la proposition.

On pose $\zeta:=\exp\left(\frac{2i\pi}{n}\right)$, on a $\zeta\in \{i,j,-j^2\}$.

Prenons la bijection $\mathbb C\to P$ envoyant $0,1,\zeta$ sur $\Omega, \Omega+\vec u,\Omega+\vec v$ respectivement. Alors le réseau affine $\Omega+\mathcal R$ est formé des points dont l'affixe est dans l'anneau $\mathbb Z[\zeta]$.

Le réseau $\mathcal E$ est formé des points dont l'affixe est $\frac{z}{1-\zeta}$ où $z\in \mathbb Z[\zeta]$ car $(\vec{\text{id}}-r)^{-1}$ est identifié à $z\mapsto \frac{z}{1-\zeta}$ ici.

On veut maintenant compter le nombre d'orbites pour l'action de $T$.

Si $n=6$,
\[\frac{1}{1-\zeta}=\frac{1}{1+j^2}=\frac{1}{-j}=-j^2\in \mathbb Z[-j^2]\]
donc $\vec{\mathcal E}=\mathcal R$ et il n'y a qu'une orbite.

Si $n=4$,
\[\frac{1}{1-\zeta}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}\notin \mathbb Z[i]\]
donc il y a $2$ orbites ($2.\frac{1+i}{2}\in \mathbb Z[i]$).

Si $n=3$,
\[\frac{1}{1-\zeta}=\frac{1}{1-j}=\frac{1-j^2}{3}\notin \mathbb Z[j]\]
donc il y a $3$ orbites.
\end{itemize}
\end{proof}

\subsection*{Détails supplémentaires}
\begin{itemize}
\item La deuxième partie de la preuve peut sembler un peu obscure et on comprend mieux ce qu'on fait si on a la représentation graphique en tête. Cette représentation consiste à considérer pour chaque valeur de $n$ un pavage du plan qui est préservé par $G$. Le dénombrement des orbites de l'action de $T$ sur les centres de rotations de $G$ revient alors à compter le nombre de ces centres de rotations dans chaque parallélogramme porté par les vecteurs de base du réseau associé au pavage.

\bigskip
\item \begin{proof}[Démonstration de la proposition]
~~\\
\begin{itemize}
\item Soit $(\vec u, \vec v)$ une base de $\vec P$ et $\mathcal R:=\mathbb Z\vec u\oplus \mathbb Z \vec v$.

Alors $\mathcal R$ engendre bien $\vec P$.

Les normes étant équivalentes, on choisit la norme infinie :
\[\|x\vec u+y\vec v\|=\max(|x|,|y|)\]
Alors toute partie bornée pour cette norme est finie, donc $\mathcal R$ est un réseau.

\bigskip
\item Soit $\mathcal R$ un réseau et $r>0$ tel que $\{\vec w\in \mathcal R\setminus \{\vec 0\}\ /\ \|\vec w\|\le r\}\neq \emptyset$.

Cet ensemble étant fini, il existe $\vec u$ dans cet ensemble de norme minimum.

De même, il existe $\vec v\in \mathcal R$ de norme minimum parmi les vecteurs non colinéaires à $\vec u$.

Montrons que $\mathcal R=\mathbb Z\vec u\oplus \mathbb Z\vec v$.

Soit $\vec w\in \mathcal R$, $\vec w=x\vec u+y\vec v$ avec $(x,y)\in\mathbb R^2$.\\
Soit $(p,q)\in \mathbb Z^2$ tel que
\[|x-p|\le \frac{1}{2}, |y-q|\le \frac{1}{2}\]

Posons
\[\lambda:=x-p, \mu:=y-q, \vec W:=\lambda\vec u+\mu\vec v\in \mathcal R\]

On a
\[\|\vec W\|\le |\lambda|\|\vec u\|+|\mu|\|\vec v\|\]
avec égalité si et seulement si $\lambda \vec u$ et $\mu\vec v$ sont colinéaires, donc si et seulement si $\lambda=0$ ou $\mu=0$.

Donc pour $\lambda, \mu$ non nuls, on a
\[\|\vec W\|< |\lambda|\|\vec u\|+|\mu|\|\vec v\|\le \frac{1}{2}(\|\vec u\|+\|\vec v\|)\le \|\vec v\|\]

Sous ces conditions, $\vec W$ doit donc être colinéaire à $\vec u$, ce qui contredit $\mu\neq 0$. Donc $\mu=0$ et $\|\vec W\|\le \frac 1 2 \|\vec u\|<\|\vec u\|$, d'où $\lambda=0$, ce qui conclut la preuve.
\end{itemize}
\end{proof}
\end{itemize}
\end{document}