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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Théorème de Molien}
\date{2012-2013}
\maketitle

\qquad Référence : Eric Leichtnam, \emph{Exercices d'oraux X-ENS : tome Algèbre et Géométrie}, Ellipses, 1999, p. 95.

\begin{thm}
Soit $V$ un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie $n$.

Soit $(e_1,\dotsc,e_n)$ une base de $V$.

Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL(V)$.

On note $A=\mathbb C[X_1,\dotsc,X_n]$ et on pose :
\[\begin{array}{l l l l l}
\sigma & : & G & \longrightarrow & \mathfrak S(A)\\
& & g & \longmapsto & (P\mapsto P(g.(X_1,\dotsc,X_n)))
\end{array}
\]
où $(X_1,\dotsc,X_n)$ est identifié avec la colonne ayant pour coordonnées $X_1,\dotsc, X_n$ et $.$ est le produit matriciel.

\emph{i.e.}, si $g=(u_{i,j})_{1\le i,j\le n}$,
\[\sigma(g)(P(X_1,\dotsc,X_n))=P\left(\sum_{j=1}^nu_{1,j}X_j,\dotsc,\sum_{j=1}^nu_{n,j}X_j\right)\]

Alors :
\begin{itemize}
\item $\sigma$ définit une action de $G$ sur $A$ et est à valeurs dans $GL(A)$, on notera $\sigma(g)(P)=g\cdot P$.

\item Pour $k\in\mathbb N$, on note $A_k$ l'espace des polynômes homogènes de $A$ de degré $k$. L'action de $G$ sur $A$ induit alors une action de $G$ sur $A_k$.

\item Finalement, on note $A_k^G$ l'ensemble des points fixes sous cette action, \emph{i.e.}
\[A_k^G=\{P\in A_k\mid \forall g\in G, g\cdot P=P\}\]
et $a_k(G)=\dim A_k^G$.

On a alors :
\[\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(G)X^k=\frac 1{\mathrm{Card}\,G}\sum_{g\in G}\frac 1{\det(\mathrm{Id}-Xg)}\]
\end{itemize}
\end{thm}

\begin{lemme}
Soit $V$ un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $G$ un groupe fini.

Soit $\varphi : G\to GL(V)$ un morphisme de groupes.

On note :
\[V^G=\bigcap_{g\in G}\ker(\varphi(g)-\mathrm{Id})\]
Alors :
\[\dim V^G=\frac 1{\mathrm{Card}\,G}\sum_{g\in G}\mathrm{Trace}\,\varphi(g)\]
\end{lemme}

\begin{proof}
On considère :
\[p_G=\frac 1{\mathrm{Card}\,G}\sum_{g\in G}\varphi(g)\]
Montrons que $p_G(V)=V^G$ :

\begin{itemize}
\item Soit $v\in V, h\in G$, alors :
\begin{align*}
\varphi(h)(p_G(v))&=\frac 1{\mathrm{Card}\,G}\sum_{g\in G}\varphi(h)\varphi(g)(v)\\
&=\frac 1{\mathrm{Card}\,G}\sum_{g\in G}\varphi(hg)(v)\\
&=p_G(v)
\end{align*}
car $g\mapsto hg$ est une bijection de $G$, donc $p_G(V)\subseteq V^G$.

\bigskip
\item Réciproquement, on a $p_G(v)=v$ pour tout $v\in V^G$, donc $V^G\subseteq p_G(V)$.
\end{itemize}
L'égalité $\varphi(h)p_G=p_G$ pour tout $h\in G$ montre que ${p_G}^2=p_G$, donc $p_G$ est un projecteur d'image $V^G$.

D'où :
\[\mathrm{rang}\, p_G=\dim V^G=\mathrm{Trace}\,p_G\]

D'où le résultat par linéarité de la trace.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du théorème]
~~\\
\begin{itemize}
\item Montrons d'abord que $\sigma$ définit bien une action de $G$ sur $A$.
On a :
\begin{align*}
g\cdot(g'\cdot P)&=g\cdot P(g'.(X_1,\dotsc,X_n))\\
&=P(gg'.(X_1,\dotsc,X_n))\\
&=(gg')\cdot P
\end{align*}

et $\mathrm{Id}\cdot g=g$.

De plus, $\sigma(g)$ est clairement linéaire, donc $\sigma(g)\in GL(A)$.

\bigskip
\item Pour $k\in\mathbb N$, $g\cdot A_k\subseteq A_k$, donc l'action de $G$ sur $A$ induit une action de $G$ sur $A_k$. Notons $\sigma_k : G\to GL(A_k)$ le morphisme induit par $\sigma$.

\bigskip
\item Soit $g\in G$. Observons d'abord que $g$ est diagonalisable. En effet, le polynôme $X^{\mathrm{Card}\,G}-1$ annule $g$ et est scindé à racines simples.

Soit alors $u\in GL(V)$ tel que la matrice de $ugu^{-1}$ dans la base $(e_1,\dotsc,e_n)$ soit diagonale et soit $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n$ les valeurs propres de $g$.

Alors :
\begin{align*}
\frac 1{\det(\mathrm{Id}-Xg)}&=\prod_{i=1}^n\frac 1{1-\lambda_iX}\\
&=\prod_{i=1}^n\left(\sum_{k=0}^{+\infty}\lambda_i^kX^k\right)\\
&=\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\sum_{k_1+\dotsb+k_n=k}\lambda_1^{k_1}\dotsm\lambda_n^{k_n}\right)X^k
\end{align*}

D'autre part, si $k_1+\dotsb+k_n=k$, alors :
\[\sigma_k(ugu^{-1})(X_1^{k_1}\dotsm X_n^{k_n})=\lambda_1^{k_1}\dotsm\lambda_n^{k_n}X_1^{k_1}\dotsm X_n^{k_n}\]

Donc $\lambda_1^{k_1}\dotsm\lambda_n^{k_n}$ est valeur propre de $\sigma_k(ugu^{-1})$. Or les $X_1^{k_1}\dotsm X_n^{k_n}$ forment une base de $A_k$, donc :

\[\mathrm{Trace}(\sigma_k(g))=\mathrm{Trace}(\sigma_k(ugu^{-1}))=\sum_{k_1+\dotsb+k_n=k}\lambda_1^{k_1}\dotsm\lambda_n^{k_n}\]

D'où :
\[\frac 1{\det(\mathrm{Id}-Xg)}=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathrm{Trace}(\sigma_k(g))X^k\]

En appliquant le lemme avec $V=A_k$ et $\varphi=\sigma_k$, on obtient :
\[\dim A_k^G=a_k(G)=\frac 1{\mathrm{Card}\,G}\sum_{g\in G}\mathrm{Trace}(\sigma_k(g))\]

D'où :
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(G)X^k&=\frac 1{\mathrm{Card}\,G}\sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{g\in G}\mathrm{Trace}(\sigma_k(g))X^k\\
&=\frac 1{\mathrm{Card}\,G}\sum_{g\in G}\sum_{k=0}^{+\infty}\mathrm{Trace}(\sigma_k(g))X^k\\
&=\frac 1{\mathrm{Card}\,G}\sum_{g\in G}\frac 1{\det(\mathrm{Id}-Xg)}
\end{align*}

\end{itemize}
\end{proof}
\end{document}