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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
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\newtheorem*{thm}{Théorème}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Théorème d'échantillonnage de Shannon}
\date{2012-2013}
\maketitle

\qquad Référence : Michel Willem, \emph{Analyse harmonique réelle}, Hermann, 1995, p.126-128.

\bigskip
On définit, pour $u\in \mathcal S(\mathbb R)$,
\[\hat u(y)=\int_{\mathbb R}u(x) e^{-2i\pi xy}\mathrm dx\]
la transformée de Fourier de $u$. Par densité de $\mathcal S(\mathbb R)$ dans $L^2(\mathbb R)$, on peut prolonger la transformée de Fourier à $L^2(\mathbb R)$.

On définit :
\[BL^2:=\left\{u\in L^2(\mathbb R)\ /\ \text{supp } \hat u \subseteq \mathbb I\right\} \text{ où } \mathbb I:=\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\]

On définit aussi le sinus-cardinal sur $\mathbb R$ par :
\[\text{sinc }x:=\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\sin \pi x}{\pi x} \text{ si } x\neq 0\\
1 \text{ sinon}
\end{array}
\right.\] 

\begin{thm}
$BL^2$ vérifie les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}[(i)]
\item $BL^2$ est un espace de Hilbert.
\item Tout $u\in BL^2$ possède un représentant dans $\mathcal C_0(\mathbb R)$ (i.e. $u$ est presque partout égale à une fonction de $\mathcal C_0(\mathbb R)$).
\item La suite $(\text{sinc}(.-k))_{k\in \mathbb Z}$ est une base hilbertienne de $BL^2$.
\item Pour $u\in BL^2$,
\[u(x)=\sum_{k\in \mathbb Z} u(k)\text{sinc}(k-n),\]
la série convergeant uniformément et dans $L^2(\mathbb R)$.
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{lemme}
Si $u\in L^1(\mathbb R)$, alors $\hat u\in \mathcal C_0(\mathbb R)$ et :
\[\|\hat u\|_\infty \le \|u\|_1\]
\end{lemme}

\begin{proof}
Soit $u\in L^1(\mathbb R)$. Pour $y\in \mathbb R$, on a :
\[|\hat u(y)| \le \int_{\mathbb R} |u(x)|\mathrm dx=\|u\|_1\]
donc $\|\hat u\|_\infty \le \|u\|_1$.

Par densité de $\mathcal D:=\{u\in \mathcal C^\infty(\mathbb R)\ /\ \text{supp $u$ est compact}\}$ dans $L^1(\mathbb R)$, il existe une suite $(u_n)$ de $\mathcal D$ convergeant vers $u$ dans $L^1(\mathbb R)$. On a donc :
\[\|\hat u-\widehat{u_n}\|_\infty \le \|u-u_n\|_1 \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0\]

De plus, $u_n\in \mathcal S(\mathbb R)$ donc $\widehat{u_n}\in \mathcal S(\mathbb R) \subseteq \mathcal C_0(\mathbb R)$. Or $\mathcal C_0(\mathbb R)$ est fermé dans $\mathcal C_b(\mathbb R)$ donc $\hat u\in \mathcal C_0(\mathbb R)$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du théorème]
~~\\
\begin{enumerate}[(i)]
\item Pour montrer que $BL^2$ est complet, il suffit de prouver que c'est un sous-espace fermé de $L^2(\mathbb R)$.

Soit $(u_n)_n$ une suite de $BL^2$ convergeant vers $u$ dans $L^2(\mathbb R)$.\\
Par continuité de la transformée de Fourier dans $L^2(\mathbb R)$, $(\widehat{u_n})_n$ converge vers $\hat u$ dans $L^2(\mathbb R)$, donc en particulier dans $L^2(\Omega)$ où $\Omega:=\mathbb R \setminus \mathbb I$.\\
Par définition de $BL^2$, $\widehat {u_n}_{|\Omega}=0$, donc $\hat u_{|\Omega}=0$ et $u\in BL^2$.

\bigskip
\item Soit $u\in BL^2$. Par définition, $\hat u\in L^2(\mathbb I)$ donc $\hat u\in L^1(\mathbb I)$ ($\mathbb I$ de mesure finie). $\hat u=0$ en dehors de $\mathbb I$ donc $\hat u\in L^1(\mathbb R)$.\\
Par inversion de Fourier, on a alors :
\begin{align*}
u(x)&=\int_{\mathbb R}\hat u(y)e^{2i\pi xy}\mathrm dy \qquad \text{p.p.}\\
&=\int_{\mathbb I}\hat u(y)e^{2i\pi xy}\mathrm dy \qquad \text{p.p.}
\end{align*}

Par le lemme, $u$ a un représentant dans $\mathcal C_0(\mathbb R)$.\\
On déduit aussi de l'inégalité de Cauchy-Schwarz et de l'égalité de Plancherel que, pour $x\in \mathbb R$,
\[|u(x)| \le \|\hat u\|_{L^2(\mathbb I)}=\|\hat u\|_{L^2(\mathbb R)}=\|u\|_{L^2(\mathbb R)}\]
donc
\[\|u\|_\infty \le \|u\|_2\]

\bigskip
\item Posons 
\[e_k(x):=\left\{
\begin{array}{l}
e^{2i\pi kx} \text{ si } |x|\le 1/2\\
0 \text{ sinon}
\end{array}
\right.
\]

On remarque que $\widehat{e_k}(y)=\text{sinc}(y-k)$.\\
D'où, par conservation du produit scalaire,
\[\int_{\mathbb R}\text{sinc}(x-j)\text{ sinc}(x-k)\mathrm dx=\int_{\mathbb R}e_j \overline{e_k}=\int_{\mathbb I}e_j\overline{e_k}=\delta_{j,k}\]

La suite $(\text{sinc}(.-k))_{k\in \mathbb Z}$ est donc orthonormée.

Pour montrer que cette suite est une base hilbertienne de $BL^2$, il suffit désormais de montrer qu'elle est totale, donc de montrer que son orthogonal dans $BL^2$ est réduit à $\{0\}$.

Soit donc $u\in BL^2$ tel que pour tout $k\in \mathbb Z$,
\[\int_{\mathbb R}u(x)\text{ sinc}(x-k)\mathrm dx=0\]
On a alors :
\[0=\int_{\mathbb R}u \widehat{e_k}=\int_{\mathbb R}\hat u e_k=\int_{\mathbb I}\hat u e_k \quad \forall k\in \mathbb Z\]
Donc $\hat u(y)=0$ presque partout sur $\mathbb I$ car $(e_k)_{k\in \mathbb Z}$ est une base hilbertienne de $L^2(\mathbb R)$. Par conséquent, $\hat u=0$ donc $u=0$ et $(\text{sinc}(.-k))_{k\in \mathbb Z}$ est totale.

\bigskip
\item Par (iii), on a, pour $u\in BL^2$ et $x\in \mathbb R$, 
\[u(x)=\sum_{k\in \mathbb Z} \langle u,\text{ sinc}(.-k)\rangle \text{ sinc}(x-k)\]
la convergence étant uniforme par l'inégalité prouvée à la fin de (ii).

En particulier, pour $x=j\in \mathbb Z$, on a 
\[u(j)=\langle u,\text{ sinc}(.-j)\rangle\]
D'où le résultat recherché.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{document}