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\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{$f\in\mathcal S(\mathbb R)\Rightarrow \hat f\in\mathcal S(\mathbb R)$} 
\date{2012-2013}
\maketitle
\qquad Référence : Hervé Queffélec, Claude Zuily, \emph{Analyse pour l'agrégation (3e édition)}, Dunod, 2006, p.329.

\begin{prop}
$f\in\mathcal S(\mathbb R)\Rightarrow \hat f\in\mathcal S(\mathbb R)$
\end{prop}

\begin{proof}
Pour tout $x\in\mathbb R$, $t\mapsto e^{-itx}$ est de classe $\mathcal C^\infty$ et pour tout $q\in\mathbb N$,

\[\left|\left(\frac \partial{\partial t}\right)^qe^{-itx}f(x)\right|=|x|^q|f(x)|\in L^1\]

car $f$ est $\mathcal C^\infty$ et pour $|x|\ge 1$,
\[|x|^q|f(x)|\le\frac C{|x|^2}\]
Donc, pour $q\in\mathbb N$,
\[\hat f^{(q)}(t)=\int_\mathbb Re^{-itx}(-ix)^qf(x)\mathrm dx\]

Montrons par récurrence sur $p$ que pour tout $p,q\in\mathbb N$, il existe $g_{p,q}\in\mathcal S(\mathbb R)$ tel que :
\[t^p\hat f^{(q)}(t)=\int_\mathbb Re^{-itx}g_{p,q}(x)\mathrm dx\]
C'est vrai pour $p=0$ car $x^qf\in\mathcal S(\mathbb R)$.

On suppose que c'est vrai à l'ordre $p$, alors par IPP :
\[t^p\hat f^{(q)}(t)=-\frac 1{it}\left[e^{-itx}g_{p,q}(x)\right]_\mathbb R+\frac 1{it}\int_\mathbb Re^{-itx}g_{p,q}'(x)\mathrm dx\]

$g_{p,q}\in\mathcal S(\mathbb R)$ donc $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g_{p,q}(x)=0$.

On pose $\displaystyle g_{p+1,q}=\frac 1 ig_{p,q}'\in\mathcal S(\mathbb R)$, alors :

\[t^{p+1}\hat f^{(q)}(t)=\int_\mathbb Re^{-itx}g_{p+1,q}(x)\mathrm dx\]

D'où :
\[\left|t^p\hat f^{(q)}(t)\right|\le\int_\mathbb R|g_{p,q}(x)|\mathrm dx=C_{p,q}<\infty\]
car $\mathcal S(\mathbb R)\subset L^1(\mathbb R)$.

Donc $\hat f\in\mathcal S(\mathbb R)$.
\end{proof}
\end{document}