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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

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\newcommand{\NN}{\mathbb N}
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\title{Théorème de Kronecker.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\qquad Référence : Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas, \emph{Oraux X-ENS Algèbre 1}, Cassini, 2008, p.213.

\begin{thm}
On définit
\[\Omega_n:=\{P\in\ZZ[X]\mid P\text{ unitaire},\deg P=n\text{ et }z\in Z(P)\Rightarrow 0<|z|\le 1\}\]
où $Z(P)$ désigne les racines complexes de $P$.

Si $P\in\Omega_n$, alors les racines de $P$ sont des racines de l'unité.
\end{thm}
\begin{proof}
Montrons dans un premier temps que $\Omega_n$ est fini.\\
On note $z_1,\dotsc,z_n$ les racines de $P$ et $\sigma_1,\dotsc,\sigma_n$ les fonctions symétriques élémentaires de $P$ évaluées en $(z_1,\dotsc,z_n)$.\\
Alors
\[P=X^n-\sigma_1X^{n-1}+\dotsc+(-1)^n\sigma_n\]
et $\sigma_i\in\ZZ$.\\
Or $|z_i|\le 1$ donc, pour $1\le p\le n$,
\[|\sigma_p|=\left|\sum_{1\le i_1<\dotsc<i_p\le n}z_{i_1}\dotsm z_{i_n}\right|\le\sum_{1\le i_1<\dotsc<i_p\le n}1=\binom np.\]
On en déduit que $\Omega_n$ est fini.

On considère désormais
\[P_k:=\prod_{i=1}^n(X-z_i^k)\]
et montrons que $P_k\in\Omega_n$.\\
Afin de montrer que $P_k\in\ZZ[X]$, introduisons le polynôme $Q_k:=X^k-Y\in\ZZ[X,Y]$ et considérons $R_k(Y):=\text{Res}_X(P(X),Q_k(X,Y))$. $P\in\ZZ[X]$ et $Q_k\in\ZZ[X,Y]$ donc $R_k\in\ZZ[Y]$. Par ailleurs,
\[R_k(Y)=\prod_{i=1}^nQ_k(z_i)=\prod_{i=1}^n(z_i^k-Y)=(-1)^nP_k(Y)\]
donc $P_k\in\ZZ[X]$. De plus, $P_k$ est unitaire et ses racines sont les $z_i^k$ qui vérifient $0<|z_i^k|\le 1$. Par conséquent, $P_k\in\Omega_n$.

Or $\Omega_n$ est fini donc l'ensemble des racines des éléments de $\Omega_n$ est fini donc, pour $i\in\{1,\dotsc,n\}$, l'application
\begin{align*}
\NN^*&\longrightarrow\CC\\
k&\longmapsto z_i^k
\end{align*}
n'est pas injective. On en déduit qu'il existe $k\neq l$ tels que $z_i^k=z_i^l$ et $z_i\neq 0$ donc $z_i^{k-l}=1$ et $z_i$ est une racine de l'unité.
\end{proof}
\begin{cor}
Soit $P\in\ZZ[X]$ unitaire et irréductible tel que $Z(P)\subset D(0,1)$, où $Z(P)$ désigne les racines de $P$.\\
Alors $P=X$ ou $P$ est un polynôme cyclotomique.
\end{cor}
\begin{proof}
Supposons $P\neq X$. Alors $P$ est irréductible donc $0$ n'est pas racine de $P$ et, d'après le théorème de Kronecker, ses racines sont des racines de l'unité. De plus, les racines de $P$ sont simples car $P$ est irréductible (sinon il serait divisible par $P\land P'$ non trivial) et donc $P\mid X^N-1$ pour un certain $N$.\\
Or
\[X^N-1=\prod_{d\mid N}\Phi_d\]
avec $\Phi_d$ irréductible sur $\ZZ$.\\
$P\neq 1$ donc $P=\Phi_k$ pour un certain $k$.
\end{proof}
\begin{cor}
Tout polynôme de $\ZZ[X]$ ayant ses racines dans $D(0,1)$ est un produit de puissances de $X$ et de polynômes cyclotomiques.
\end{cor}
\end{document}