\documentclass{article}

\usepackage{lmodern}
\usepackage[T1]{fontenc}      
\usepackage[francais]{babel}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{setspace}
\usepackage{soul}
\usepackage{amsthm, amsmath, amssymb}
%\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{centernot}
%\usepackage[all]{xy}

\setlength\parindent{0em}

\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
\newtheorem*{cor}{Corollaire}
\newtheorem*{thm}{Th�or�me}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{D�finition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}
\newtheorem*{app}{Application}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Pseudo-r�duction simultan�e} 
\date{2012-2013}
\maketitle

\begin{prop}
Soient $M\in S_n^{++}(\mathbb R),N\in S_n(\mathbb R)$.

Alors il existe $C\in GL_n(\mathbb R)$ telle que :
\[{}^tCMC=I_n\textrm{ et }{}^tCNC=D\]
o� $D$ est une matrice diagonale r�elle.
\end{prop}

\begin{proof}
$M\in S_n^{++}(\mathbb R)$ donc $\Phi:(X,Y)\mapsto {}^tXMY$ est un produit scalaire de $\mathbb R^n$, donc il existe une base orthonorm�e pour $\Phi$.

\emph{i.e.} il existe $P\in GL_n(\mathbb R)$ telle que :
\[{}^tPMP=I_n\]
Or ${}^tPNP\in S_n(\mathbb R)$ donc, par le th�or�me spectral, il existe $Q\in O_n(\mathbb R)$ telle que :
\[{}^tQ{}^tPNPQ=D\]
avec $D$ une matrice diagonale r�elle.

En posant $C=PQ$, on obtient ce qu'on voulait.
\end{proof}

\end{document}