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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{huge}
Théorème de \textsc{Jordan}\\
\end{huge}
\vspace{1cm}
Florian \textsc{Bouguet}\\
\end{center}




\underline{Références :}
\begin{itemize}
	\item \textsc{Gonnord, Tosel} : Calcul différentiel\\
\end{itemize}

On aura rarement vu théorème paraissant aussi stupide et s'avérant aussi dur à démontrer que le théorème de \textsc{Jordan}. Nous nous placerons ici dans le cas des courbes $\mathcal C^1$, et le défi est déjà de taille. En fait, il s'agit d'une preuve bien trop longue pour un développement de 15 minutes. A titre personnel, je pense que les deux premières parties de la preuve sont les plus intéressantes et tiennent environ un quart d'heure. Ceci dit, il faut s'attendre à une question du style : "comment montrez-vous la fin ?". A bon entendeur\dots

\vspace{1cm}


\begin{theo}[de \textsc{Jordan}]
Soit $\Gamma=$Im$(\gamma)$ avec $\gamma:\R/L\Z\to\C$ et $L>0$.\\
Si $\gamma$ est $\mathcal C^1$, injective, et si $\gamma'$ ne s'annule pas\\
Alors $\C\backslash \Gamma$ possède deux composantes connexes.
\end{theo}

\underline{Preuve :}\\

Pour des raisons de confort, on peut supposer (quitte à modifier $L$, c'est à dire le "temps de parcours de $\gamma$") que $|\gamma'|=1$, et (quitte à changer l'origine et pivoter le plan) que $\gamma (0)=0$, $\gamma'(0)=1$.\\

J'invite fortement le lecteur à se représenter et illustrer tout son développement à l'aide du cercle unité "correctement translaté et pivoté", paramétré par $\gamma(t)=i+\e^{i(t-\pi/2)}$ et $L=2\pi$.\\

\begin{center}\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Jordan.png}\end{center}

\underline{Partie 1}\\

Dans la première partie de ce développement, introduisons, pour $\varepsilon>0$,

\[\Gamma_\varepsilon^+=Im(\gamma_\varepsilon^+)\qquad \text{avec } \gamma_\varepsilon^+(t)=\gamma(t)+i\varepsilon\gamma'(t)\]
\[\Gamma_\varepsilon^-=Im(\gamma_\varepsilon^-)\qquad \text{avec } \gamma_\varepsilon^-(t)=\gamma(t)-i\varepsilon\gamma'(t)\]

On va montrer que, pour $\varepsilon$ suffisamment petit, $\Gamma\cap\Gamma_\varepsilon^+=\emptyset$. Supposons, par l'absurde, qu'il existe $s,t\in\R/L\Z$ tels que $\gamma(t)=\gamma_\varepsilon^+(s)$. On a alors
\begin{eqnarray*}
\left|\gamma(t)-\left(\gamma(s)+(t-s)\gamma'(s)\right)\right|&=&|\gamma'(s)||i\varepsilon-(t-s)|\\
&>&|t-s|
\end{eqnarray*}

De plus, $\gamma'$ est continue et périodique donc uniformément continue (théorème de \textsc{Heine}). Donc il existe $\eta>0$ tel que
\[|t_1-t_2|\leq\eta\Rightarrow  |\gamma'(t_1)-\gamma'(t_2)|\leq 1\]

Si $|t-s|\leq\eta$ alors, en appliquant le théorème des accroissements finis à $t\mapsto\gamma(t)-\left(\gamma(s)+(t-s)\gamma'(s)\right)$, on obtient
\[\left|\gamma(t)-\left(\gamma(s)+(t-s)\gamma'(s)\right)\right|\leq\sup_{t_1\in[s,t]}|\gamma'(t_1)-\gamma'(s)||(t-s)|\leq|(t-s)|\]

Ceci est impossible donc $|t-s|>\eta$. Notons alors
\[\alpha=\inf_{|t_1-t_2|\geq\eta}|\gamma(t_1)-\gamma(t_2)|\]

$(t_1t_2)\mapsto|\gamma(t_1)-\gamma(t_2)|$ est continue sur le compact $\{|t_1-t_2|\geq\eta\}$ qui est un fermé de $(\R/L\Z)^2$. En conséquence, $\alpha$ est atteint mais surtout $\alpha\neq0$ par injectivité de $\gamma$. Considérons maintenant $\varepsilon<\alpha$.

\begin{eqnarray*}
\left|\gamma(t)-\gamma_\varepsilon^+(s)\right|&=&\left|\gamma(t)-\left(\gamma(s)+i\varepsilon\gamma'(s)\right)\right|\\
&\geq&\left|\gamma(t)-\gamma(s)\right|-\left|i\varepsilon\gamma'(s)\right|\\
&\geq&\alpha-\varepsilon>0
\end{eqnarray*}

Ceci étant encore impossible, il faut bien se résoudre, $\Gamma\cap\Gamma_\varepsilon^+=\emptyset$ pourvu que $\varepsilon<\alpha$. On  montre de la même façon que $\Gamma\cap\Gamma_\varepsilon^-=\emptyset$.\\

\underline{Partie 2}\\

Dans la seconde partie de ce développement, fixons $\varepsilon<\alpha$. Nous allons montrer que $\C\backslash \Gamma$ possède au maximum deux composantes connexes en reliant tout point n'appartenant pas à $\Gamma$ à $\Gamma_\varepsilon^+$ ou $\Gamma_\varepsilon^-$ sans passer par $\Gamma$. Posons donc $z\in \C\backslash \Gamma$.\\

$\Gamma$ est compact donc il existe (mais on n'a pas d'unicité a priori) $t_0\in\R/L\Z$ tel que
\[|z-\gamma(t_0)|=d(z,\Gamma)\]
De plus (et l'on s'en apercevra vite en dérivant $t\mapsto|z-\gamma(t_0)|^2$ et en évaluant en $t_0$, qui réalise le minimum de cette fonction) que $|z-\gamma(t_0)|\perp\gamma'(t_0)$. $z$ est donc porté par $\gamma(t_0)+$Vect$(i\gamma'(t_0))$. En d'autres termes, $\exists \lambda\in\R$ tel que $z=\gamma(t)+i\lambda\gamma'(t)$ et $\lambda\neq0$ car $z\notin\Gamma$. Supposons $\lambda>0$ et montrons que l'on peut relier $z$ à $\Gamma_\varepsilon^+$ (on montre de la même façon que, si $\lambda<0$, on peut relier $z$ à $\Gamma_\varepsilon^-$).\\

Supposons, par l'absurde, qu'il existe $z'\in\Gamma$ tel que $z'\in[z,\gamma_\varepsilon^+(t_0)]$
\begin{itemize}
	\item si $\lambda\leq\varepsilon$, les points $\gamma(t_0),z, z'$ et $\gamma_\varepsilon^+(t_0)$ sont alignés dans cet ordre. Autrement dit $z'\in\Gamma_{\lambda'}^+$ avec $\lambda'\leq\varepsilon<\alpha$, ce qui est impossible d'après la partie 1 de la démonstration.\\
\begin{center}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Cas1.png}\end{center}
	\item si $\varepsilon\leq\lambda$, les points $\gamma(t_0),\gamma_\varepsilon^+(t_0), z'$ et $z$ sont alignés dans cet ordre. Alors, $d(z,z')<d(z\gamma(t_0)$ ce qui est impossible.\\
\begin{center}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Cas2.png}\end{center}
\end{itemize}


On a donc montré que que $\C\backslash\Gamma$ possédait aux plus deux composantes connexes.\\

\underline{Partie 3}\\

Il reste donc à montrer, vous l'aurez compris, que $\C\backslash\Gamma$ possède au moins deux composantes connexes. On va donc montrer qu'il existe deux points de $\C\backslash\Gamma$ ayant un indice différent par rapport au lacet $\gamma$ (attention, on parle d'indice d'un point par rapport à $\gamma$ et non à $\Gamma$). Les deux points qu'on va choisir sont $i\varepsilon$ et $-i\varepsilon$ pour $\varepsilon<\alpha$ (évidemment).\\

\[\text{Ind}_\gamma(i\varepsilon)-\text{Ind}_\gamma(-i\varepsilon)=\frac1{2i\pi}\int_{-L/2}^{L/2}{\left(\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-i\varepsilon}-\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)+i\varepsilon}\right)dt}=\frac\varepsilon\pi\int_{-L/2}^{L/2}{\frac{\gamma'(t)dt}{\gamma^2(t)+\varepsilon^2}}\]

On remarque que le dénominateur ne peut s'annuler que si $t=0$ et $\varepsilon=0$, car $\pm i\varepsilon\notin\Gamma$ si $0<\varepsilon<\alpha$. Notons
\[f(t,\varepsilon)=\frac{\gamma'(t)}{\gamma^2(t)+\varepsilon^2}\]

$\frac{\gamma(t)}t\to \gamma'(0)=1$ quand $t\to0$. En conséquence, il existe $\delta>0$ tel que, si $|t|<\delta, \frac{\gamma^2(t)}{t^2}>\frac12$. On va faire le changement de variable $t\mapsto\varepsilon s$.

\begin{eqnarray*}
\frac\varepsilon\pi\int_{-\delta}^{\delta}{f(t,\varepsilon)dt}&=&\frac1\pi\int_{-\delta/\varepsilon}^{\delta/\varepsilon}{\frac{\varepsilon^2\gamma'(\varepsilon s)ds}{\gamma^2(\varepsilon s)+\varepsilon^2}}\\
    &=&\frac1\pi\int_{\R}{\frac{\gamma'(\varepsilon s)}{1+\frac{\gamma^2(\varepsilon s)}{\varepsilon^2 s^2}s^2}}\indic_{[-\delta/\varepsilon,\delta/\varepsilon]}(s)ds
\end{eqnarray*}

$\delta$ a été choisi tout spécialement pour que l'intégrande soit inférieure à $1/\left(1+\frac1{s^2}\right)$ en minorant $\frac{\gamma^2(\varepsilon s)}{\varepsilon^2 s^2}$. De plus, on a convergence simple de l'intégrande, lorsque $\varepsilon\to0$, vers $\frac1{1+s^2}$.\\

Donc, par convergence dominée :

\[\frac\varepsilon\pi\int_{-\delta}^{\delta}{\frac{\gamma'(t)dt}{\gamma^2(t)+\varepsilon^2}}\to\frac1\pi\int_\R{\frac{ds}{1+s^2}}=1\]

La fin est plus facile. En effet, la fonction $f$ est continue sur le compact $\left([-\frac L2,-\delta]\cup[\delta,\frac L2]\right)\times[0,\frac\alpha2]$. Elle est donc majorée indépendamment de $t$ et $\varepsilon$. Donc $\frac1\pi\int_{\delta\leq|t|\leq\frac L2}{\frac{\gamma'(t)dt}{\gamma^2(t)+\varepsilon^2}}$ est majorée par une constante indépendante de $\varepsilon$. Donc

\[\frac\varepsilon\pi\int_{\delta\leq|t|\leq\frac L2}{\frac{\gamma'(t)dt}{\gamma^2(t)+\varepsilon^2}}\to0\]

En conclusion, on a donc 

\[\lim_{\varepsilon\to0}\left(\text{Ind}_\gamma(i\varepsilon)-\text{Ind}_\gamma(-i\varepsilon)\right)=1\]

Donc pour $\varepsilon$ suffisamment proche de 0, les indices sont différents, ce qui achève la preuve de ce théorème.\\ \qed









































\end{document}