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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\begin{document}
\title{Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme} 
\date{2012-2013}
\maketitle

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.

Soit $u$ un endomorphisme dont un polynôme annulateur est :
\[F:=\prod_{i=1}^r(X-\lambda_i)^{\alpha_i}\]
On décompose $\displaystyle\frac 1 F$ en éléments simples :
\[\frac 1 F=\sum_{i=1}^r\frac{U_i(X)}{(X-\lambda_i)^{\alpha_i}}\]
D'où :
\begin{align}1=\sum_{i=1}^rU_iQ_i\qquad\text{où}\quad Q_i=\prod_{j\neq i}(X-\lambda_j)^{\alpha_j}\end{align}
Si on pose $p_i:=U_iQ_i(u)$, alors $p_i$ est le projecteur sur $E_{\lambda_i}:=\ker(u-\lambda_i\text{id})^{\alpha_i}$ parallèlement à $\displaystyle\bigoplus_{j\neq i}E_{\lambda_j}$.

En effet, $F$ divise $(X-\lambda_i)^{\alpha_i}U_iQ_i$ donc Im$(p_i)\subset E_{\lambda_i}$ et, inversement, si $x\in E_{\lambda_i}$, alors $Q_j(x)=0$ pour $j\neq i$ donc par (1) :
\[x=\sum_{j=1}^rU_jQ_j(u)(x)=p_i(x)\]

De plus, si $i\neq j$ alors $F$ divise $Q_iQ_j$, donc $p_ip_j=0$. Par (1), on en déduit :

\[p_i=\sum_{j=1}^rp_ip_j=p_i^2\]

On peut désormais calculer l'exponentielle de $u$ par sa décomposition de Dunford. Pour cela, on pose :
\[d:=\sum_{i=1}^r\lambda_ip_i\qquad\text{et}\qquad n:=u-d=\sum_{i=1}^r(u-\lambda_i\text{id})p_i\]
Les projecteurs $p_i$ étant des polynômes en $u$, $d$ et $n$ le sont aussi et par conséquent commutent. De plus, les $p_i$ commutent et sont diagonalisables donc sont codiagonalisables, donc $d$ est diagonalisable.

Si on pose $\displaystyle\alpha:=\max_{1\le i\le r}(\alpha_i)$, on a :
\[n^\alpha=\sum_{i=1}^r(u-\lambda_i\text{id})^\alpha p_i=0\]
Donc $n$ est nilpotent et $u=d+n$ est la décomposition de Dunford de $u$.

On a alors :
\begin{align*}
\exp(u)&=\exp(d)\exp(n)\\
&=\left(\sum_{i=1}^re^{\lambda_i}p_i\right)\left(\sum_{i=1}^r\exp(u-\lambda_i\text{id})p_i\right)\\
&=\sum_{i=1}^re^{\lambda_i}\sum_{p=0}^{\alpha_i-1}\frac{(u-\lambda_i\text{id})^p}{p!}p_i
\end{align*}

\subsection*{Application}
\[A:=
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -2\\
0 & 6 & -3\\
-1 & 4 & 0
\end{pmatrix}
\]
Le polynôme caractéristique de A est $(X-2)^2(X-3)$. On a donc $Q_1=X-3$ et $Q_2=(X-2)^2$.

Pour trouver les $U_i$, on peut ici faire un algorithme d'Euclide étendu sur $Q_1$ et $Q_2$ pour trouver une relation de Bezout. On obtient $U_1=1-X$ et $U_2=1$, ce qui donne $p_1=(I_3-A)(A-3I_3)$ et $p_2=(A-2I_3)^2$ les projecteurs sur $E_2$ et $E_3$ respectivement.

On en déduit :
\[\exp(A)=e^2(A-I_3)p_1+e^3p_2\]
\end{document}