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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}
\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\KK}{\mathbb K}
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\newcommand{\fnc}[5]{\begin{align*}#1#2&\longrightarrow#3\\#4&\longmapsto#5\end{align*}}

\begin{document}
\title{Pseudo-réduction simultanée} 
\date{2013 -- 2014}
\maketitle

\begin{prop}
Soient $M\in S_n^{++}(\mathbb R),N\in S_n(\mathbb R)$.

Alors il existe $C\in GL_n(\mathbb R)$ telle que :
\[{}^tCMC=I_n\textrm{ et }{}^tCNC=D\]
où $D$ est une matrice diagonale réelle.
\end{prop}

\begin{proof}
$M\in S_n^{++}(\mathbb R)$ donc $\Phi:(X,Y)\mapsto {}^tXMY$ est un produit scalaire de $\mathbb R^n$, donc il existe une base orthonormée pour $\Phi$.

\emph{i.e.} il existe $P\in GL_n(\mathbb R)$ telle que :
\[{}^tPMP=I_n\]
Or ${}^tPNP\in S_n(\mathbb R)$ donc, par le théorème spectral, il existe $Q\in O_n(\mathbb R)$ telle que :
\[{}^tQ{}^tPNPQ=D\]
avec $D$ une matrice diagonale réelle.

En posant $C=PQ$, on obtient ce qu'on voulait.
\end{proof}
\subsubsection*{Autre rédaction}
$\Phi:(X,Y)\mapsto {}^tXMY$ est un produit scalaire et $\Psi:(X,Y)\mapsto {}^tXNY$ est une forme bilinéaire sur $\RR^n$. Il existe donc un unique endomorphisme $u$ sur $\RR^n$ telle que pour tout $X,Y\in\RR^n,\Psi(X,Y)=\Phi(X,u(Y))$. De plus, $\Psi$ est symétrique donc $u$ est auto-adjoint pour $\Phi$. Il existe donc une base $(e_1,\dotsc,e_n)$ orthonormale pour $\Phi$ de vecteurs propres de $u$ associés à des valeurs propres $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n$.

Si on note $P$ la matrice de passage de la base canonique à $(e_1,\dotsc, e_n)$, on a, pour $X=(x_1,\dotsc,x_n)$ et $Y=(y_1,\dotsc,y_n)$,
\begin{align*}\Psi\left(\sum_{i=1}^nx_ie_i,\sum_{j=1}^ny_je_j\right)&=\Phi\left(\sum_{i=1}^nx_ie_i,u\left(\sum_{j=1}^ny_je_j\right)\right)\\
&=\Phi\left(\sum_{i=1}^nx_ie_i,\sum_{j=1}^n\lambda_jy_je_j\right)\\
&=\sum_{i=1}^n\lambda_ix_iy_i\\
&=\transp XDY
\end{align*}
avec $D=\text{diag}(\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)$. D'où 
\[\transp X\transp PNPY=\transp XDY\]
pour tout $X,Y$ et donc $\transp PNP=D$.

Par ailleurs,
\[\Phi\left(\sum_{i=1}^nx_ie_i,\sum_{j=1}^ny_je_j\right)=\sum_{i=1}^nx_iy_i\]
et donc $\transp X\transp PMPY=\transp XY$ pour tout $X,Y$, d'où $\transp PMP=I_n$.
\end{document}