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\title{Loi de réciprocité quadratique.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
Il s'agit ici de démontrer la loi de réciprocité quadratique :
\begin{thm}
Si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers impairs distincts, alors
\[\left(\frac qp\right)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}2}\left(\frac pq\right).\]
\end{thm}

On commence par deux résultats préliminaires.
\begin{de}
Soit $A$ un anneau commutatif. On appelle polynôme de Laurent toute fraction rationnelle de la forme $\sum_{i\in\ZZ}a_iX^i\in A(X)$ telle que les $a_i$ soient presque tous nuls. Les polynômes de Laurent forment un sous-anneau de $A(X)$.
\end{de}
\begin{prop}
Tout polynôme de Laurent de la forme $P:=\sum_{i=-n}^na_iX^i$ avec $a_{-i}=a_i$ pour tout $i$ et $a_n\neq 0$ s'écrit de manière unique sous la forme $Q(X+\frac 1X)$ avec $Q\in A[X]$ de degré $n$.
\end{prop}
\begin{proof}
Si $Q=b_0+b_1X+\dotsb+b_nX^n$ avec $b_n\neq 0$, alors $Q(X+\frac 1X)=b_nX^{-n}+\dotsb+b_nX^n$ où les monômes dans les $\dotsb$ ont un exposant compris entre $-(n-1)$ et $n-1$. On en déduit que si $Q$ est non nul, alors $Q(X+\frac 1X)$ aussi, ce qui montre l'unicité de $Q$.

Montrons l'existence de $Q$ par récurrence sur $n$.\\
Si $P=a_0$, $Q:=a_0$ convient.\\
Supposons le résultat connu pour des polynômes de Laurent faisant intervenir des exposants compris entre $-(n-1)$ et $n-1$. Soit $P:=\sum_{i=-n}^na_iX^i$ avec $a_{-i}=a_i$ et $a_n\neq 0$. Le polynôme de Laurent $P-a_n(X+\frac 1X)^n$ a des coefficients symétriques donc, par hypothèse de récurrence, il existe $R\in A[X]$ de degré inférieur à $n-1$ tel que $P-a_n(X+\frac 1X)^n=R(X+\frac 1X)$. Le polynôme $Q:=R+a_nX^n$ vérifie $P=Q(X+\frac 1X)$ et est de degré $n$.
\end{proof}
\begin{prop}
Pour $p$ un nombre premier impair, on note $V_p\in\ZZ[X]$ le polynôme de degré $\frac{p-1}2$ tel que
\[V_p\left(X+\frac 1X\right)=\sum_{i=-\frac{p-1}2}^{\frac{p-1}2}X^i.\]
Son existence et son unicité sont garanties par la proposition précédente.

Si $q$ est un autre nombre premier impair distinct de $p$, alors
\[\left(\frac qp\right)=\text{Res}(V_p,V_q).\]
\end{prop}
\begin{proof}
Montrons que ces deux quantités sont congrues modulo $p$. Pour cela, établissons d'abord que $V_p$ est congru à $(X-2)^{\frac{p-1}2}$ modulo $p$.

$V_p$ étant unitaire, un représentant $\overline{V_p}$ de la classe de $V_p$ dans $\mathbb F_p[X]$ est un polynôme unitaire de degré $\frac{p-1}2$. Pour montrer que $\overline{V_p}=(X-2)^{\frac{p-1}2}$, il suffit de montrer que si $K$ est un corps de décomposition de $\overline{V_p}$ sur $\mathbb F_p$, alors $2$ est l'unique racine de $\overline{V_p}$ dans $K$.\\
Soit $x\in K$ tel que $\overline{V_p}(x)=0$. Dans une certaine extension $L$ de $K$, il existe $\zeta$ tel que $x=\zeta+\frac 1\zeta$ ($\zeta$ vérifie $\zeta^2-x\zeta+1=0$). On a alors
\[\overline{V_p}(x)=\overline{V_p}\left(\zeta+\frac 1\zeta\right)=\sum_{i=-\frac{p-1}2}^{\frac{p-1}2}\zeta^i=0.\]
D'où
\[\sum_{i=0}^{p-1}\zeta^i=0\quad\text{et}\quad\sum_{i=1}^p\zeta^i=0,\]
d'où $\zeta^p-1=0$. On en déduit $(\zeta-1)^p=0$ et donc $\zeta=1$ et $x=2$.

La réduction modulo $p$ de Res$(V_p,V_q)$ donne \begin{align*}
\overline{\text{Res}(V_p,V_q)}&=\text{Res}(\overline{V_p},\overline{V_q})\\
&=\overline{V_q}(2)^{\frac{p-1}2}\\
&=q^{\frac{p-1}2}\\
&=\left(\frac qp\right)
\end{align*}
dans $\mathbb F_p$.

Il reste à montrer que Res$(V_p,V_q)$ est égal à $\pm1$. Pour cela, il suffit de montrer que pour tout nombre premier $l$, $l$ ne divise pas Res$(V_p,V_q)$, c'est-à-dire que $V_p$ et $V_q$ n'ont pas de racine commune dans une extension finie $K$ de $\mathbb F_l$.\\
Soit $x\in K$ une racine commune de $V_p$ et $V_q$ dans $K$. Comme précédemment, on peut écrire $x=\zeta+\frac 1\zeta$ avec $\zeta$ appartenant à une extension $L$ de $K$. $V_p(x)=0$ donc $\zeta^p=1$ et $V_q(x)=0$ donc $\zeta^q=1$. Or $p$ et $q$ sont premiers entre eux donc $\zeta=1$. Quitte à échanger les rôles de $p$ et $q$, on peut supposer que $p\neq l$, on a alors
\[V_p(x)=\sum_{i=-\frac{p-1}2}^{\frac{p-1}2}\zeta^i=p\neq 0\]
dans $\mathbb F_l$.
\end{proof}
Par la formule Res$(V_q,V_p)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}2}\text{Res}(V_p,V_q)$, on en déduit la loi de réciprocité quadratique.
\end{document}