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\title{206 -- Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Question.}
Pourquoi l'enveloppe convexe d'un compact est compacte ?

\section*{Réponse.}
Soit $C$ un compact d'un espace vectoriel de dimension $n$, alors
\[\text{Conv}(C)=\{\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i\mid\lambda_i\ge 0,\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i=1,x_i\in C\}\]
par le théorème de Carathéodory. Alors si on pose
\[\Delta_{n+1}:=\{(\lambda_i)\in\RR^{n+1}\mid\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i=1,\lambda_i\ge 0\},\]
$\Delta_n$ est compact et l'application \fnc{f:}{\Delta_{n+1}\times C^{n+1}}{\text{Conv}(C)}{((\lambda_i),(x_i))}{\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i} est continue et surjective, d'où le résultat.

\section*{Question.}
Montrer la convergence des itérées dans le théorème de point fixe dans le cas d'une application strictement 1-lipschitzienne sur un compact.

\section*{Réponse.}
On montre d'abord que $f$ admet un unique point fixe : l'application $x\mapsto d(x,f(x))$ est continue sur un compact donc admet un minimum $m$ atteint en $a$. Si $m>0$, alors $f(a)\neq a$ et
\[d(f(a),f^2(a))<d(a,f(a))=m,\]
ce qui contredit la minimalité de $m$. Donc $m=0$ et $f(a)=a$. De plus, ce point fixe est unique car si $b=f(b)$ avec $a\neq b$, on a
\[d(a,b)=d(f(a),f(b))<d(a,b).\]
On considère maintenant la suite $u_n:=d(f^n(x_0),a)$, alors $(u_n)_{n\in\NN}$ est positive et décroissante :
\[u_{n+1}=d(f^{n+1}(x_0),a)=d(f^{n+1}(x_0),f(a))<d(f^n(x_0),a).\]
On considère l'ensemble
\[X:=\{(x,y)\mid d(x,y)\ge\varepsilon\},\]
$X$ est compact. $(x,y)\mapsto\frac{d(f(x),f(y))}{d(x,y)}$ est continue sur $X$ donc admet un maximum sur $X$, qui est inférieur strictement à $1$. Donc $f$ est contractante sur $X$ et, en appliquant le théorème de Picard, si $(f^n(x_0),a)\in X$ pour tout $n$, alors $(f^n(x_0))_{n\in\NN}$ converge vers $a$ l'unique point fixe de $f$, ce qui est absurde. Donc il existe $n\in\NN$ tel que $d(f^n(x_0),a)<\varepsilon$, et donc pour $m>n$, $d(f^m(x_0),a)<d(f^n(x_0),a)<\varepsilon$. Ceci prouve la convergence de la suite $(f^n(x_0))_{n\in\NN}$ vers $a$.

\section*{Question.}
Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.

\section*{Réponse.}
On considère l'ensemble $I:=\{x\in[0,1]\mid f(x)\le x\}$. Alors $I\neq\varnothing$ car $1\in I$.

$I$ est borné donc admet une borne inférieure $a$. Pour $x\in I$, on a alors $x\ge a$ et donc $f(x)\ge f(a)$ car $f$ est croissante, d'où $x\ge f(a)$ pour tout $x\in I$. On en déduit que $f(a)$ est un minorant de $I$, donc $f(a)\le a$. On en déduit $f^2(a)\le f(a)$ et donc que $f(a)\in I$, d'où $a\le f(a)$ par définition de $a$.

Donc $a=f(a)$ est un point fixe de $f$.
\end{document}