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\title{206 -- Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Question.}
Pourquoi l'enveloppe convexe d'un compact est compacte ?

\section*{Réponse.}
Soit $C$ un compact d'un espace vectoriel de dimension $n$, alors
\[\text{Conv}(C)=\{\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i\mid\lambda_i\ge 0,\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i=1,x_i\in C\}\]
par le théorème de Carathéodory. Alors si on pose
\[\Delta_{n+1}:=\{(\lambda_i)\in\RR^{n+1}\mid\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i=1,\lambda_i\ge 0\},\]
$\Delta_n$ est compact et l'application \fnc{f:}{\Delta_{n+1}\times C^{n+1}}{\text{Conv}(C)}{((\lambda_i),(x_i))}{\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i} est continue et surjective, d'où le résultat.

\section*{Question.}
Montrer la convergence des itérées dans le théorème de point fixe dans le cas d'une application strictement 1-lipschitzienne sur un compact.

\section*{Réponse.}
On montre d'abord que $f$ admet un unique point fixe : l'application $x\mapsto d(x,f(x))$ est continue sur un compact donc admet un minimum $m$ atteint en $a$. Si $m>0$, alors $f(a)\neq a$ et
\[d(f(a),f^2(a))<d(a,f(a))=m,\]
ce qui contredit la minimalité de $m$. Donc $m=0$ et $f(a)=a$. De plus, ce point fixe est unique car si $b=f(b)$ avec $a\neq b$, on a
\[d(a,b)=d(f(a),f(b))<d(a,b).\]
On considère maintenant la suite $u_n:=d(f^n(x_0),a)$, alors $(u_n)_{n\in\NN}$ est positive et décroissante :
\[u_{n+1}=d(f^{n+1}(x_0),a)=d(f^{n+1}(x_0),f(a))<d(f^n(x_0),a).\]
On considère l'ensemble
\[X:=\{(x,y)\mid d(x,y)\ge\varepsilon\},\]
$X$ est compact. $(x,y)\mapsto\frac{d(f(x),f(y))}{d(x,y)}$ est continue sur $X$ donc admet un maximum sur $X$, qui est inférieur strictement à $1$. Donc $f$ est contractante sur $X$ et, en appliquant le théorème de Picard, si $(f^n(x_0),a)\in X$ pour tout $n$, alors $(f^n(x_0))_{n\in\NN}$ converge vers $a$ l'unique point fixe de $f$, ce qui est absurde. Donc il existe $n\in\NN$ tel que $d(f^n(x_0),a)<\varepsilon$, et donc pour $m>n$, $d(f^m(x_0),a)<d(f^n(x_0),a)<\varepsilon$. Ceci prouve la convergence de la suite $(f^n(x_0))_{n\in\NN}$ vers $a$.

\section*{Question.}
Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.

\section*{Réponse.}
On considère l'ensemble $I:=\{x\in[0,1]\mid f(x)\le x\}$. Alors $I\neq\varnothing$ car $1\in I$.

$I$ est borné donc admet une borne inférieure $a$. Pour $x\in I$, on a alors $x\ge a$ et donc $f(x)\ge f(a)$ car $f$ est croissante, d'où $x\ge f(a)$ pour tout $x\in I$. On en déduit que $f(a)$ est un minorant de $I$, donc $f(a)\le a$. On en déduit $f^2(a)\le f(a)$ et donc que $f(a)\in I$, d'où $a\le f(a)$ par définition de $a$.

Donc $a=f(a)$ est un point fixe de $f$.

\section*{Question.}
Montrer le théorème de Cauchy-Peano en utilisant le théorème de Schauder.

\section*{Réponse.}
Soit $I$ un intervalle non vide de $\RR$, $U$ un ouvert de $\RR^n$, $(t_0,x_0)\in I\times U$ et $f:I\times U\to\RR^n$ une application continue. On considère le problème de Cauchy
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}X'=f(t,X)\\X(t_0)=x_0.\end{array}\right.
\label{eq:1}
\end{equation}
Le but est de montrer que $(\ref{eq:1})$ admet une solution locale.

On commence par remarquer que $(\ref{eq:1})$ est équivalent à
\[X(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(s,X(s))\dt s\]
car $f$ est continue.

On va se placer sur un cylindre de sécurité : soit $r,M>0$ tels que
\[\bar B(x_0,r)\subset U,\quad J:=[t_0-\frac rM,t_0+\frac rM]\subset I\quad\text{et}\quad\sup_{(t,x)\in J\times B(x_0,r)}\|f(t,x)\|\le M.\]
On note
\[\mathcal A:=\{x:J\to\bar B(x_0,r)\ M-\text{lipschitzienne telle que }x(t_0)=x_0\}\]
et on définit l'opérateur $T$ sur $\mathcal A$ par
\[T(x)(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(s,x(s))\dt s.\]
Le but est donc de montrer que $T$ admet un point fixe. On commence par montrer que $T$ est bien défini : pour $x\in\mathcal A$ et $t\in J$, on a
\[\|T(x)(t)-x_0\|=\left\|\int_{t_0}^tf(s,x(s))\dt s\right\|\le M|t-t_0|<r\]
et pour $t_1,t_2\in J$,
\[\|T(x)(t_2)-T(x)(t_1)\|=\left\|\int_{t_1}^{t_2}f(s,x(s))\dt s\right\|\le M|t_2-t_1|,\]
donc $T$ est bien défini.

$\mathcal A$ est bien convexe, fermé et on montre par le théorème d'Ascoli que $\mathcal A$ est compact. En effet, pour $t\in J$, $\{x(t)\mid x\in\mathcal A\}\subset\bar B(x_0,r)$ donc $\mathcal A$ est ponctuellement bornée (on est en dimension finie) et pour $x\in\mathcal A$,
\[\|x(t_1)-x(t_2)\|\le M|t_1-t_2|\]
donc $\mathcal A$ est bien équicontinue.

Montrons que $T$ est continu pour pouvoir appliquer le théorème de Schauder. Soit $x,y\in\mathcal A$ et $\varepsilon>0$, alors $f$ est uniformément continue sur $J\times\bar B(x_0,r)$ donc il existe $\eta>0$ tel que
\[\|x-y\|_\infty<\eta\Rightarrow\|f(t,x(t))-f(t,y(t))\|<\varepsilon.\]
D'où, pour $\|x-y\|_\infty<\eta$,
\[\|T(x)(t)-T(y)(t)\|\le\int_{t_0}^t\|f(s,x(s))-f(s,y(s))\|\dt s<\varepsilon\frac Mr,\]
donc $T$ est continu.

Finalement, $\mathcal A$ est un convexe fermé non vide, $T$ est continu de $\mathcal A$ dans $\mathcal A$ et $\mathcal A$ est compact donc $T(\mathcal A)$ l'est aussi, on peut donc appliquer le théorème de Schauder qui donne l'existence d'un point fixe pour $T$.
\end{document}