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\newcommand{\KK}{\mathbb K}
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\title{156 -- Exponentielle de matrices. Applications.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Question.}
Préciser pourquoi on peut définir l'exponentielle.

\section*{Réponse.}
On munit $\mathcal M_n(\KK)$ d'une norme d'algèbre, on a alors $\left\|\frac{A^k}{k!}\right\|\le\frac{\|A\|^k}{k!}$ et la série de terme général $\frac{\|A\|^k}{k!}$ est convergente, donc la série définissant l'exponentielle est absolument convergente, donc convergente car $\mathcal M_n(\KK)$ est complet.

\section*{Question.}
La matrice $A=\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}$ est-elle dans $\exp(\mathcal M_2(\RR))$ ?

\section*{Réponse.}
Non car $\det A<0$ et $\det(\exp B)=\exp(\text{tr}(B))>0$ pour $B\in\mathcal M_n(\RR)$.

\section*{Question.}
Et pour $A=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$ ?

\section*{Réponse.}
Supposons qu'il existe $B\in\MM_2(\RR)$ telle que $\exp(B)=A$, alors si $\lambda$ est valeur propre de $B$, $\exp\lambda$ est valeur propre de $A$ donc $\lambda=i\pi+2k\pi$ pour $k\in\ZZ$. Donc $\lambda\neq\bar\lambda$, or $B$ est réelle donc $\bar\lambda$ est aussi valeur propre de $B$, donc $B$ est diagonalisable. On en déduit que $A$ est diagonalisable, ce qui est absurde.

\section*{Question.}
Et pour $B=\begin{pmatrix}A&0\\0&A\end{pmatrix}$ ?

\section*{Réponse.}
$B$ est conjuguée à $C:=\begin{pmatrix}-1&0&1&0\\0&-1&0&1\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}$. On considère le morphisme \fnc{\varphi:}{\CC}{\mathcal M_2(\RR)}{a+ib}{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}} que l'on prolonge en $\psi:\mathcal M_n(\CC)\to\mathcal M_{2n}(\RR)$. On a alors
\[C=\psi\left(\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}\right).\]
Or il existe $X\in\mathcal M_2(\CC)$ telle que $X^2=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$, on a alors $\psi(X)\in\mathcal M_4(\RR)$ et $\psi(X)^2=C$.

\section*{Question.}
Pourquoi une matrice qui n'a qu'une seule valeur propre strictement positive est l'exponentielle d'une matrice ?

\section*{Réponse.}
On écrit la décomposition de Dunford de cette matrice : $M=\lambda I+N=\lambda(I+\frac 1\lambda N)$ et $I+\frac 1\lambda N$ est unipotente donc est l'image d'une matrice nilpotente par l'exponentielle.

\section*{Question.}
Pourquoi l'exponentielle d'une matrice est un polynôme en cette matrice ?

\section*{Réponse.}
$\CC[M]$ est un sous-espace vectoriel de $\MM_n(\CC)$ de dimension finie donc est fermé. Or pour tout $N\in\NN$ et pour tout $X\in\CC[M]$,$\sum_{n=0}^N\frac 1{n!}X^n\in\CC[M]$, donc $\exp(X)\in\CC[M]$.

\section*{Question.}
Qu'est-ce qu'un groupe topologique admettant des sous-groupe arbitrairement petit ?

\section*{Réponse.}
Un groupe topologique tel que pour tout voisinage de l'identité il existe un sous-groupe contenu dans ce voisinage.

\section*{Question.}
Donner des conditions sur $A$ pour que l'application \fnc{\varphi_A:}{\RR}{GL_n(\RR)}{t}{e^{tA}} soit fermée.

\section*{Réponse.}
Il faut regarder le comportement des solutions de l'équation différentielle $Y'=AY$ en fonction des valeurs propres de $A$.
\end{document}