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\setlength\parindent{0em}

\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
\newtheorem*{cor}{Corollaire}
\newtheorem*{thm}{Th�or�me}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{D�finition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}
\newtheorem*{cexe}{Contre-exemple}
\newtheorem*{app}{Application}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
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\newcommand{\KK}{\mathbb K}
\newcommand{\dt}{\,\mathrm d}
\newcommand{\transp}{\,{}^t\!}

\title{Th�or�me de Weierstrass.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\qquad R�f�rence : Claude Zuily, Herv� Queff�lec, \emph{Analyse pour l'agr�gation}, Dunod, 2006, p.518.

\begin{thm}
Soit $f:[0,1]\to\CC$ une fonction continue. On pose
\[\omega(h):=\sup\{|f(u)-f(v)|,|u-v|\le h\}\]
son module de continuit�.\\
On consid�re
\[B_n(f,x)=B_n(x):=\sum_{k=0}^n\binom nkx^k(1-x)^{n-k}f\left(\frac kn\right)\]
le $n^{\text{i�me}}$ polyn�me de Bernstein de $f$.

Alors
\begin{enumerate}[(i)]
	\item $(B_n)$ converge uniform�ment vers $f$ sur $[0,1]$.
	\item $\|f-B_n\|_\infty\le C\omega\left(\frac 1{\sqrt n}\right)$ o� $C$ est une constante.
	\item L'estimation $(ii)$ est optimale : il existe $f$ lipschitzienne telle que \mbox{$\|f-B_n\|_\infty\ge\frac\delta{\sqrt n}$} pour une constante $\delta>0$.
\end{enumerate}
Notons que $(ii)\Rightarrow (i)$ directement.
\end{thm}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\setcounter{enumi}{1}
	\item Soit $x\in[0,1]$ et $(X_i)_{i\ge 1}$ une suite de variables de Bernoulli i.i.d de param�tre $x$. On note $S_n:=X_1+\dotsb+X_n$.\\
	On a alors
	\[\mathbb E\left(f\left(\frac{S_n}n\right)\right)=B_n(x)\text{ et }\mathbb E(f(x))=f(x)\]
	par th�or�me de transport, d'o�
	\begin{align*}
	|f(x)-B_n(x)|&=\left|\mathbb E\left(f(x)-f\left(\frac{S_n}n\right)\right)\right|\\
	&\le\mathbb E\left(\left|f(x)-f\left(\frac{S_n}n\right)\right|\right)\\
	&\le\mathbb E\omega\left(\left|x-\frac{S_n}n\right|\right).
	\end{align*}
	
	Montrons que $\omega(\lambda h)\le (\lambda+1)\omega(h)$ :\\
	$\omega$ est croissante et $\omega(h+k)\le\omega(h)+\omega(k)$ donc, par r�currence, \mbox{$\omega(nh)\le n\omega(h)$} pour $n\in\NN$. On a alors, pour \mbox{$\lambda\in\RR,\omega(\lambda h)\le\omega(\lceil\lambda\rceil h)\le\lceil\lambda\rceil\omega(h)\le(\lambda+1)\omega(h)$}.\\
	On en d�duit
	\begin{align*}
	|f(x)-B_n(x)|&\le\omega\left(\frac 1{\sqrt n}\right)\mathbb E\left(\sqrt n\left|x-\frac{S_n}n\right|+1\right)\\
	&=\omega\left(\frac 1{\sqrt n}\right)\left(1+\sqrt n\left\|x-\frac{S_n}n\right\|_1\right)\\
	&\le\omega\left(\frac 1{\sqrt n}\right)\left(1+\sqrt n\left\|x-\frac{S_n}n\right\|_2\right)
	\end{align*}
	par l'in�galit� de H�lder. Or
	\begin{align*}
	\left\|x-\frac{S_n}n\right\|_2^2&=\mathbb E\left(\left|x-\frac{S_n}n\right|^2\right)\\
	&=\text{Var}\left(x-\frac{S_n}n\right)+\left(\mathbb E\left(x-\frac{S_n}n\right)\right)^2\\
	&=\frac 1{n^2}nx(1-x)+\left(x-\frac 1nnx\right)^2\\
	&=\frac{x(1-x)}n.
	\end{align*}
	D'o�
	\begin{align*}
	|f(x)-B_n(x)|&\le\omega\left(\frac 1{\sqrt n}\right)\left(1+\sqrt n\sqrt{\frac{x(1-x)}n}\right)\\
	&\le \frac 32\omega\left(\frac 1{\sqrt n}\right).
	\end{align*}
	D'o� $\|f-B_n\|_\infty\le\frac 32\omega\left(\frac 1{\sqrt n}\right)$.
	\item On pose $f:x\mapsto\left|x-\frac 12\right|$, on a $\omega(h)\le h$. Par ailleurs,
	\begin{align*}
	\|f-B_n\|_\infty&\ge\left|f\left(\frac 12\right)-B_n\left(\frac 12\right)\right|\\
	&=\left|B_n\left(\frac 12\right)\right|\\
	&=\mathbb E\left|\frac{S_n}n-\frac 12\right|\\
	&=\frac 1{2n}\mathbb E|2S_n-n|.
	\end{align*}
	D'o� $\|f-B_n\|_\infty\ge\frac 1{2n}\mathbb E|\varepsilon_1+\dotsb+\varepsilon_n|$ avec $\varepsilon_j:=2X_j-1$ variables de Rademacher i.i.d. D'o�
	\begin{align*}
	\|f-B_n\|_\infty&\ge\frac 1{2n}\|\varepsilon_1+\dotsb+\varepsilon_n\|_1\\
	&\ge\frac1{2n\sqrt e}\|\varepsilon_1+\dotsb+\varepsilon_n\|_2
	\end{align*}
	par in�galit� de Khintchine.\\
	Or $\|\varepsilon_1+\dotsb+\varepsilon_n\|_2^2=\text{Var}(\varepsilon_1+\dotsb+\varepsilon_n)+\mathbb (\mathbb E(\varepsilon_1+\dotsb+\varepsilon_n))^2=n$. D'o�
	\[\|f-B_n\|_\infty\ge\frac 1{2\sqrt{ne}}\ge\frac 1{2\sqrt e}\omega\left(\frac 1{\sqrt n}\right).\]
\end{enumerate} 
\end{proof}
\subsection*{D�tails suppl�mentaires}
\begin{prop}[In�galit� de Khintchine]
Soit $r_1,\dotsc,r_n$ des variables de Rademacher (\emph{i.e.} valant $\pm 1$ avec probabilit� $\frac 12$) i.i.d. Soit $f\in\text{vect}_\RR(r_1,\dotsc,r_n)$.

Alors $\|f\|_2\le\sqrt e\mathbb E(|f|)$.
\end{prop}
\begin{proof}
On a $f=\sum_ja_jr_j$ et on peut supposer $\|f\|^2_2=1=\sum_ja_j^2$.\\
Posons $g:=\prod_{j=1}^n(1+ia_jr_j)$. Alors pour presque tout $x$,
\begin{align*}
|g(x)|&=\prod_{j=1}^n\sqrt{1+a_j^2r_j^2(x)}\\
&=\prod_{j=1}^n\sqrt{1+a_j^2}\\
&\le\prod_{j=1}^n\sqrt{\exp(a_j^2)}\\
&=\sqrt{\exp\left(\sum a_j^2\right)}\\
&=\sqrt e.
\end{align*}
D'o� $\|g\|_\infty\le\sqrt e$.

De plus, si $j\in\{1,\dotsc,n\}$,
\begin{align*}
\mathbb E(r_jg)&=\mathbb E\left(r_j(1+ia_jr_j)\prod_{k\neq j}(1+ia_kr_k)\right)\\
&=\mathbb E(r_j(1+ia_jr_j))\mathbb E\left(\prod_{k\neq j}(1+ia_kr_k)\right)\text{ par ind�pendance des $r_j$}\\
&=\mathbb E(r_j(1+ia_jr_j))\prod_{k\neq j}\mathbb E(1+ia_kr_k)\\
&=ia_j\text{ car $\mathbb E(r_j)=0$}.
\end{align*}
Or $\mathbb E(fg)=\sum_{j=1}^na_j\mathbb E(r_jg)$, d'o� $|\mathbb E(fg)|=\left|i\sum_{j=1}^na_j^2\right|=1$.\\
Or
\[\|f\|_1\ge\frac{|\mathbb E(fg)|}{\|g\|_\infty}\ge\frac 1{\sqrt e}.\]
\end{proof}
\end{document}