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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
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\newtheorem*{thm}{Théorème}

\theoremstyle{definition}
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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\newcommand{\RR}{\mathbb R}
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\newcommand{\fnc}[5]{\begin{align*}#1#2&\longrightarrow#3\\#4&\longmapsto#5\end{align*}}

\title{Formule d'inversion de Fourier.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\qquad Référence : Marc Briane, Gilles Pagès, \emph{Théorie de l'intégration}, Vuibert, 2006, p.279.

Pour $f\in L^1(\RR)$ on définit la transformée de Fourier de $f$ par
\[\hat f(t)=\int_\RR \mathrm e^{-itx}f(x)\dt x.\]
On donne aussi la définition d'une approximation de l'unité :
\begin{de}
Une suite $(\alpha_n)_{n\ge 1}$ d'éléments de $L^1(\RR)$ est une approximation de l'unité si elle vérifie
\begin{enumerate}[$(i)$]
	\item pour tout $n\ge 1,\quad\displaystyle\int_\RR\alpha_n=1$,
	\item $\displaystyle\sup_{n\ge 1}\int_\RR|\alpha_n|<+\infty$,
	\item pour tout $\varepsilon>0,\quad\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{|t|\ge\varepsilon}\alpha_n=0$.
\end{enumerate}
\end{de}
On rappelle le théorème suivant :
\begin{thm}
Soit $(\alpha_n)_{n\ge 1}$ une approximation de l'unité, $p\in[1,+\infty[$ et $f\in L^p(\RR)$. Alors
\[\forall n\ge 1,\quad f*\alpha_n\in L^p(\RR)\quad\text{et}\quad f*\alpha_n\xrightarrow{\|\cdot\|_p}f.\]
\end{thm}
Le résultat à démontrer est le suivant :
\begin{thm}
Soit $f\in L^1(\RR)$ telle que $\hat f\in L^1(\RR)$. Alors pour presque tout $x\in\RR$,
\[f(x)=\frac 1{2\pi}\int_\RR\hat f(t)\mathrm e^{ixt}\dt t=\frac 1{2\pi}\hat{\hat f}(-x).\]
\end{thm}
\begin{proof}
On pose
\[a_n(x):=\frac 1{2\pi}\mathrm e^{-\frac {|x|}n}\]
et on introduit $\alpha_n:=\widehat{a_n}$. Montrons que $(\alpha_n)_{n\ge 1}$ est une approximation de l'unité.

\begin{align*}
\alpha_n(t)&=\frac 1{2\pi}\int_\RR \mathrm e^{-\frac{|x|}n-itx}\dt x\\
&=\frac 1{2\pi}\int_{-\infty}^0 \mathrm e^{\frac{x}n-itx}\dt x+\frac 1{2\pi}\int_0^{+\infty} \mathrm e^{-\frac{x}n-itx}\dt x\\
&=\frac 1{2\pi}\left[\frac{\mathrm e^{\frac xn-itx}}{\frac 1n-it}\right]_{-\infty}^0+\frac 1{2\pi}\left[\frac{\mathrm e^{-\frac xn-itx}}{-\frac 1n-it}\right]_0^{+\infty}\\
&=\frac 1{2\pi}\left(\frac 1{\frac 1n-it}+\frac 1{\frac 1n+it}\right)\\
&=\frac n\pi\frac 1{1+(nt)^2}.
\end{align*}
On a alors
\begin{align*}\int_\RR\alpha_n(t)\dt t&=\frac n\pi\int_\RR\frac{\dt t}{1+(nt)^2}\\
&=\frac 1\pi\int_\RR\frac{\dt u}{1+u^2}=1.
\end{align*}
Par ailleurs, pour $\varepsilon>0$,
\begin{align*}
\int_{|t|\ge\varepsilon}\alpha_n(t)\dt t&=\frac n\pi\int_{|t|\ge\varepsilon}\frac{\dt t}{1+(nt)^2}\\
&=\frac 1\pi\int_{|t|\ge n\varepsilon}\frac{\dt u}{1+u^2}\\
&=\frac 1\pi\left(\frac\pi 2-\arctan(n\varepsilon)+\arctan(-n\varepsilon)+\frac\pi 2\right)\\
&=1-\frac 2\pi\arctan(n\varepsilon)\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.
\end{align*}
$(\alpha_n)_{n\ge 1}$ est donc une approximation de l'unité. On a alors
\begin{align*}
\alpha_n*f(x)&=\int_\RR\alpha_n(x-t)f(t)\dt t\\
&=\int_\RR\int_\RR a_n(u)\mathrm e^{-iu(x-t)}\dt uf(t)\dt t\\
&=\int_\RR a_n(u)\mathrm e^{-iux}\int_\RR f(t)\mathrm e^{iut}\dt t\dt u
\end{align*}
par application du théorème de Fubini, car $|a_n(u)\mathrm e^{-iu(x-t)}f(t)|=|a_n(u)f(t)|$ est intégrable pour la mesure produit $\dt t\dt u$ d'après le théorème de Fubini-Tonelli. On en déduit, par parité de $a_n$,
\begin{align*}
\alpha_n*f(x)&=\int_\RR a_n(u)\mathrm e^{iux}\int_\RR f(t)\mathrm e^{-iut}\dt t\dt u\\
&=\int_\RR a_n(u)\mathrm e^{iux}\hat f(u)\dt u.
\end{align*}
Or $|a_n(u)\mathrm e^{iux}\hat f(u)|\le|\hat f(u)|\in L^1(\RR)$ et $\lim_{n\to+\infty}a_n(u)=\frac 1{2\pi}$ pour tout $u$. En appliquant le théorème de convergence dominée on a donc
\[\lim_{n\to+\infty}\alpha_n*f(x)=\frac 1{2\pi}\int_\RR\hat f(u)\mathrm e^{iux}\dt u=\frac 1{2\pi}\hat{\hat f}(-x).\]
Par ailleurs, $f\in L^1(\RR)$ et $(\alpha_n)$ est une approximation de l'unité donc $\lim_{n\to+\infty}\|\alpha_n*f-f\|_1=0$. D'après le théorème de Riesz-Fischer, il existe une sous-suite $(\alpha_{\varphi(n)})$ telle que $\alpha_{\varphi(n)}*f$ converge presque partout vers $f$. D'où $f=\hat{\hat f}(-\cdot)$ presque partout.
\end{proof}
\end{document}