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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\dt}{\,\mathrm d}

\title{Théorème de Jordan.}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\qquad Références : Stéphane Gonnord, Nicolas Tosel, \emph{Calcul différentiel}, Ellipses, 1998.

\begin{thm}
Soit $\Gamma=\mathrm{Im}(\gamma)$ avec $\gamma:\RR\to\CC$ de classe $\mathcal C^1$, 1-périodique, telle que $\gamma_{|\mathopen]0,1[}$ soit injective et $\gamma'(t)\neq 0$. Alors $\CC\setminus\Gamma$ a deux composantes connexes.
\end{thm}
\begin{proof}
On commence par supposer pour plus de commodités que \mbox{$|\gamma'(t)|=1$} pour tout $t$ (une justification est donnée en fin de document), que $\gamma(0)=0$ et que $\gamma'(0)=1$.
\begin{lemme}
Si pour $\varepsilon>0$ on note $\Gamma_\varepsilon^+$ (resp. $\Gamma_\varepsilon^-$) la courbe paramétrée par
\[\gamma_\varepsilon^+(t)=\gamma(t)+i\varepsilon\gamma'(t)\text{ (resp. }\gamma_\varepsilon^-(t)=\gamma(t)-i\varepsilon\gamma'(t))\]
alors il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $0<\varepsilon<\alpha$, $\Gamma\cap\Gamma_\varepsilon^+=\Gamma\cap\Gamma_\varepsilon^-=\varnothing$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Supposons qu'il existe $s,t$ tels que $\gamma(t)=\gamma_\varepsilon^+(s)$ (on peut supposer $|t-s|\le\frac 12$), alors
\begin{align*}
|\gamma(t)-(\gamma(s)+(t-s)\gamma'(s))|&=|\gamma'(s)||i\varepsilon-(t-s)|\\
&>|t-s|.
\end{align*}

Par ailleurs, $\gamma'$ est continue sur $\RR$ et périodique donc uniformément continue, donc il existe $\eta>0$ tel que
\[|t_1-t_2|\le\eta\Longrightarrow|\gamma'(t_1)-\gamma'(t_2)|\le 1.\]
Si $|t-s|\le\eta$, alors en appliquant le théorème des accroissements finis à $t\mapsto\gamma(t)-(\gamma(s)+(t-s)\gamma'(s))$ on a
\[|\gamma(t)-(\gamma(s)+(t-s)\gamma'(s))|\le\sup_{t_1\in[s,t]}|\gamma'(t_1)-\gamma'(s)||t-s|\le|t-s|.\]
Ceci est impossible donc $|t-s|>\eta$. Posons alors 
\[\alpha:=\inf_{\frac 12\ge|t_1-t_2|\ge\eta}|\gamma(t_1)-\gamma(t_2)|.\]
Alors $\alpha$ est atteint par compacité de $\{\frac 12\ge|t_1-t_2|\ge\eta\}$ et continuité de $(t_1,t_2)\mapsto|\gamma(t_1)-\gamma(t_2)|$, on en déduit que $\alpha>0$ par injectivité de $\gamma$.

Soit $\varepsilon<\alpha$ et $s,t$ tels que $\gamma(t)=\gamma_\varepsilon^+(s)$. Alors $|t-s|>\eta$ et on a 
\begin{align*}
|\gamma(t)-\gamma_\varepsilon^+(s)|&=|\gamma(t)-(\gamma(s)+i\varepsilon\gamma'(s))|\\
&\ge|\gamma(t)-\gamma(s)|-|i\varepsilon\gamma'(s)|\\
&\ge\alpha-\varepsilon>0.
\end{align*}
On aboutit donc sur une contradiction, d'où $\Gamma\cap\Gamma_\varepsilon^+=\varnothing$. De même, $\Gamma\cap\Gamma_\varepsilon^-=\varnothing$.
\end{proof}
Montrons que $\CC\setminus\Gamma$ possède au plus deux composantes connexes. Pour cela, posons $\varepsilon<\alpha$ et montrons que tout point de $\CC\setminus\Gamma$ peut être relié par un chemin à $\Gamma_\varepsilon^+$ ou à $\Gamma_\varepsilon^-$ sans couper $\Gamma$.

Soit donc $z\in\CC\setminus\Gamma$.\\
Par compacité de $\Gamma$, la distance de $z$ à $\Gamma$ est atteinte en un point $\gamma(t_0)$ et on a $z-\gamma(t_0)\bot\gamma'(t_0)$ (en dérivant $t\mapsto|z-\gamma(t)|^2$).\\
Alors la demi-droite $[\gamma(t_0),z)$ rencontre $\Gamma_\varepsilon^+$ au point $\gamma_\varepsilon^+(t_0)$ ou $\Gamma_\varepsilon^-$ au point $\gamma_\varepsilon^-(t_0)$. Supposons par exemple que nous soyons dans le premier cas et montrons que $[\gamma_\varepsilon^+(t_0),z]$ ne rencontre par $\Gamma$. Deux cas sont possibles :
\begin{itemize}
	\item $\gamma(t_0),\gamma_\varepsilon^+(t_0)$ et $z$ sont alignés dans cet ordre. Alors si $[\gamma_\varepsilon^+(t_0),z]$ rencontrait $\Gamma$, cela contredirait la minimalité de $|z-\gamma(t_0)|$.
	\item $\gamma(t_0),z$ et $\gamma_\varepsilon^+(t_0)$ sont alignés dans cet ordre. Alors si $[\gamma_\varepsilon^+(t_0),z]$ rencontrait $\Gamma$, ce point serait également sur un $\Gamma_\varepsilon'^+$ avec $\varepsilon'\le\varepsilon$, ce qui contredirait le lemme.
\end{itemize}

Montrons maintenant que $\CC\setminus\Gamma$ a au moins deux composantes connexes. Pour cela, il suffit de trouver deux points de $\CC\setminus\Gamma$ qui n'ont pas le même indice par rapport à $\gamma$. Choisissons $i\varepsilon$ et $-i\varepsilon$.
\[\text{Ind}_\gamma(i\varepsilon)-\text{Ind}_\gamma(-i\varepsilon)=\frac 1{2i\pi}\int_{-1/2}^{1/2}\left(\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-i\varepsilon}-\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)+i\varepsilon}\right)\dt t=\frac\varepsilon\pi\int_{-1/2}^{1/2}\frac{\gamma'(t)}{\gamma^2(t)+\varepsilon^2}\dt t.\]
Le dénominateur ne peut s'annuler que si $t=0$ et $\varepsilon=0$ car $\pm i\varepsilon\notin\Gamma$.

Par ailleurs, $\lim_{t\to 0}\frac{\gamma(t)}t=\gamma'(0)=1$ donc il existe $\delta>0$ tel que si \mbox{$|t|<\delta$}, alors $\Re\left(\frac{\gamma^2(t)}{t^2}\right)>\frac 12$.\\
On a alors, par changement de variable $t=\varepsilon s$,
\begin{align*}
\frac\varepsilon\pi\int_{-\delta}^{\delta}\frac{\gamma'(t)}{\gamma^2(t)+\varepsilon^2}\dt t&=\frac{\varepsilon^2}\pi\int_{-\delta/\varepsilon}^{\delta/\varepsilon}\frac{\gamma'(\varepsilon s)}{\gamma^2(\varepsilon s)+\varepsilon^2}\dt s\\
&=\frac 1\pi\int_\RR\frac{\gamma'(\varepsilon s)}{1+\frac{\gamma^2(\varepsilon s)}{(\varepsilon s)^2}s^2}\mathbf 1_{[-\delta/\varepsilon,\delta/\varepsilon]}(s)\dt s.
\end{align*}
Or $\delta$ a été choisi pour que l'intégrande soit inférieure à $1/(1+\frac{s^2}2)$. D'où, par théorème de convergence dominée,
\[\frac 1\pi\int_\RR\frac{\gamma'(\varepsilon s)}{1+\frac{\gamma^2(\varepsilon s)}{(\varepsilon s)^2}s^2}\mathbf 1_{[-\delta/\varepsilon,\delta/\varepsilon]}(s)\dt s\xrightarrow[\varepsilon\to 0]{}\frac 1\pi\int_\RR\frac{\dt s}{1+s^2}=1.\]

D'autre part, la fonction $(\varepsilon,t)\mapsto\frac{\gamma'(t)}{\gamma^2(t)+\varepsilon^2}$ est continue sur le compact \mbox{$[0,\frac\alpha 2]\times\{\frac 12\ge|t|\ge\delta\}$}, elle est donc majorée indépendamment de $t$ et $\varepsilon$ par une constante, d'où
\[\frac\varepsilon\pi\int_{\delta\le|t|\le\frac 12}\frac{\gamma'(t)}{\gamma^2(t)+\varepsilon^2}\dt t\xrightarrow[\varepsilon\to 0]{}0.\]

Finalement, on a
\[\lim_{\varepsilon\to 0}(\text{Ind}_\gamma(i\varepsilon)-\text{Ind}_\gamma(-i\varepsilon))=1.\]

Donc pour $\varepsilon$ suffisamment petit, les indices sont distincts.
\end{proof}
\subsection*{Détails supplémentaires}
Montrons que l'on peut se ramener au cas où $|\gamma'(t)|=1$ pour tout $t$, quitte à modifier la période de $\gamma$.\\
Soit
\[s(t):=\int_0^t|\gamma'(u)|\dt u\]
l'abscisse curviligne de $\gamma$, qui est continue car $\gamma$ est $\mathcal C^1$. $\gamma'$ est continue et non nulle donc $s$ est strictement croissante sur $\RR$. Il s'agit donc d'une bijection et on peut considérer $\tilde\gamma:=\gamma\circ s^{-1}$. On a alors
\begin{align*}
\tilde\gamma'(t)&=(s^{-1})'(t)\gamma'(s^{-1}(t))\\
&=\frac 1{s'(s^{-1}(t))}\gamma'(s^{-1}(t))\\
&=\frac{\gamma'(s^{-1}(t))}{|\gamma'(s^{-1}(t))|}.
\end{align*}
On a donc $|\tilde\gamma'(t)|=1$ pour tout $t$.

Soit $T:=s(1)$, montrons que $\tilde\gamma$ est $T$-périodique. Pour $t\in\RR$, on a
\[t+T=\int_0^{s^{-1}(t)}|\gamma'(u)|\dt u+\int_0^1|\gamma'(u)|\dt u=\int_0^{s^{-1}(t)+1}|\gamma'(u)|\dt u=s(s^{-1}(t)+1)\]
car $\gamma$ est périodique. D'où
\[\tilde\gamma(t+T)=\gamma\circ s^{-1}(s(s^{-1}(t)+1))=\gamma(s^{-1}(t)+1)=\gamma(s^{-1}(t))=\tilde\gamma(t).\]
\end{document}