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\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\newcommand{\RR}{\mathbb R}
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\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\dt}{\,\mathrm d}

\title{Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\qquad Référence : Daniel Perrin, \emph{Cours d'algèbre}, Ellipses, 1996, p.74.

\begin{thm}
Le groupe multiplicatif $\mathbb F_q^*$ est un groupe cyclique, isomorphe à $\mathbb Z/(q-1)\mathbb Z$.
\end{thm}
\begin{lemme}
Soit $n\in\NN^*$, on a
\[n=\sum_{d|n}\varphi(d).\]
\end{lemme}
\begin{proof}
Tout élément de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ a pour ordre un diviseur $d$ de $n$ et il y a exactement $\varphi(d)$ éléments d'ordre $d$ car ils engendrent l'unique sous-groupe cyclique d'ordre $d$ de $\mathbb Z/n\mathbb Z$.
\end{proof}
\begin{proof}[Démonstration du théorème]
Posons $n:=q-1$, soit $d$ un diviseur de $n$.

S'il existe $x\in\mathbb F_q^*$ d'ordre $d$, on considère le sous-groupe $H:=<x>\simeq\mathbb Z/d\mathbb Z$ de $\mathbb F_q^*$. On a $|H|=d$ et pour tout $y\in H,y^d=1$. De plus, le polynôme $Y^d-1$ a au plus $d$ racines dans $\mathbb F_q$ donc tout élément d'ordre $d$ de $\mathbb F_q^*$ est dans $H$.

Par conséquent, le nombre $N(d)$ d'éléments d'ordre $d$ de $\mathbb F_q^*$ vaut $0$ ou $\varphi(d)$ (nombre de générateurs de $\mathbb Z/d\mathbb Z$), donc $N(d)\le\varphi(d)$. Or tout élément de $\mathbb F_q^*$ a pour ordre un diviseur de $n$ donc
\[n=|\mathbb F_q^*|=\sum_{d|n}N(d).\]
Par le lemme, on en déduit $N(d)=\varphi(d)$ pour tout $d$, d'où $N(n)=\varphi(n)>0$ donc $\mathbb F_q^*$ contient un élément d'ordre $n$ donc est cyclique.
\end{proof}
\begin{remarque}
Cette démonstration permet aussi de montrer que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique, ce qui permet par exemple de montrer que tout sous-groupe fini de $SO(2)$ est cyclique.
\end{remarque}
\end{document}