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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

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\title{Borne de Bézout}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\begin{thm}
Soit $k$ un corps infini et $P,Q\in k[X,Y]$ deux polynômes de degrés totaux respectifs $d$ et $d'$. On suppose que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux. Alors $|V(P)\cap V(Q)|\le dd'$, avec $V(P):=\{(x,y)\in k^2\mid P(x,y)=0\}$.
\end{thm}
\begin{proof}
Définissons $R(X):=\text{Res}_Y(P,Q)$ et $S(Y):=\text{Res}_X(P,Q)$. Montrons d'abord que $|V(P)\cap V(Q)|<+\infty$.

Si $(\alpha,\beta)\in V(P)\cap V(Q)$, alors $R(\alpha)=0$ et $S(\beta)=0$. Or $P$ et $Q$ sont premiers entre eux donc les polynômes $R$ et $S$ sont non nuls. On en déduit $|V(P)\cap V(Q)|\le\deg(R)\deg(S)$.

Montrons que $\deg(R)\le dd'$. On commence par écrire
\[P(X,Y)=\sum_{k=0}^pP_k(X)Y^{p-k}\quad\text{et}\quad Q(X,Y)=\sum_{k=0}^qQ_k(X)Y^{q-k}\]
avec
\[\left\{\begin{array}{ll}\deg P_k\le d-p+k,&0\le k\le p\\\deg Q_k\le d'-q+k,&0\le k\le q.\end{array}\right.\]
Notons $M$ la matrice de Sylvester de $P$ et $Q$ comme polynômes en $Y$, on a
\[M=\begin{pmatrix}P_0&\cdots&\cdots&P_p&0&\cdots&0\\
0&P_0&\cdots&\cdots&P_p&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&&&\ddots&0\\
0&\cdots&0&P_0&\cdots&\cdots&P_p\\
Q_0&\cdots&Q_q&0&\cdots&\cdots&0\\
0&Q_0&\cdots&Q_q&\ddots&&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&&\ddots&\ddots&&\ddots&0\\
0&\cdots&\cdots&0&Q_0&\cdots&Q_q\end{pmatrix}.\]

Pour $1\le i\le q$, on a
\[M_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}P_{j-i}&\text{si }0\le j-i\le p\\0&\text{sinon}\end{array}\right.\]
donc pour tout $j\in\{1,\dotsc,p+q\},\deg(M_{i,j})\le d-p+j-i$.

De même, pour $q+1\le i\le p+q$, on a
\[M_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}Q_{j-i+q}&\text{si }0\le j-i+q\le q\\0&\text{sinon}\end{array}\right.\]
donc pour tout $j\in\{1,\dotsc,p+q\},\deg(M_{i,j})\le d'-q+j-i+q=d'+j-i$.

On applique alors la formule du déterminant :
\[R=\sum_{\sigma\in\mathfrak S_{p+q}}\varepsilon(\sigma)\underbrace{\prod_{i=1}^qM_{i,\sigma(i)}\prod_{i=q+1}^{p+q}M_{i,\sigma(i)}}_{R_\sigma}.\]
Or, pour tout $\sigma\in\mathfrak S_{p+q}$, on a
\begin{align*}
\deg(R_\sigma)&\le\sum_{i=1}^q(d-p+\sigma(i)-i)+\sum_{i=q+1}^{p+q}(d'+\sigma(i)-i)\\
&=q(d-p)+pd'+\underbrace{\sum_{i=1}^{p+q}(\sigma(i)-i)}_{=0}\\
&=q(d-p)+(p-d)d'+dd'\\
&=(q-d')(d-p)+dd'\\
&\le dd'.
\end{align*}
On en déduit que $\deg(R)\le dd'$ et, par le même raisonnement, $\deg(S)\le dd'$. Donc $|V(P)\cap V(Q)|\le (dd')^2$.

Nous allons maintenant affiner cette borne. Notons $(\alpha_1,\beta_1),\dotsc,(\alpha_r,\beta_r)$ les différents points d'intersection de $V(P)$ et $V(Q)$. Si tous les $\alpha_i$ sont distincts alors, puisque les $\alpha_i$ sont racines de $R$, $|V(P)\cap V(Q)|=r\le\deg(R)\le dd'$. Si ce n'est pas le cas, on va effectuer un changement de variables pour s'y ramener.

Soit $u\in k$ tel que
\[\forall i\neq j\in\{1,\dotsc,r\},\quad\alpha_i+u\beta_i\neq \alpha_j+u\beta_j.\]
Un tel $u$ existe car les droites d'équation $y=\alpha_i+x\beta_i$ ont deux à deux au plus un point d'intersection donc il existe un nombre fini de points dans l'intersection de deux droites, et $k$ est infini.

Effectuons alors le changement de variables
\[\left\{\begin{array}{l}X'=X+uY\\Y'=Y\end{array}\right.\]
et notons $\tilde P(X',Y')=P(X,Y),\tilde Q(X',Y')=Q(X,Y)$. On a alors
\begin{align*}
(\alpha,\beta)\in V(P)\cap V(Q)&\iff P(\alpha,\beta)=Q(\alpha,\beta)=0\\
&\iff\tilde P(\alpha+u\beta,\beta)=\tilde Q(\alpha+u\beta,\beta)=0\\
&\iff(\alpha+u\beta,\beta)\in V(\tilde P)\cap V(\tilde Q),
\end{align*}
d'où $|V(P)\cap V(Q)|=|V(\tilde P)\cap V(\tilde Q)|$.

Soit $(x,y)\in V(\tilde P)\cap V(\tilde Q)$, alors $(x-uy,y)\in V(P)\cap V(Q)$ donc il existe $i\in\{1,\dotsc,r\}$ tel que $\alpha_i=x-uy$ et $\beta_i=y$, \emph{i.e.} $x=\alpha_i+u\beta_i$ et $y=\beta_i$. Par définition de $u$, pour un tel $x$ il y a unicité de $i$ et donc de $y$. Les abscisses des points d'intersection de $V(\tilde P)$ et $V(\tilde Q)$ sont donc distinctes et on a
\[|V(P)\cap V(Q)|=|V(\tilde P)\cap V(\tilde Q)|\le dd'.\]
\end{proof}
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{SP}
Philippe Saux Picart,
\emph{Cours de calcul formel : Algorithmes fondamentaux},
Ellipses,
1999,
page 157 exercice 8.
\end{thebibliography}
\end{document}