%description: Developpements

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\title{Inégalité isopérimétrique}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\begin{thm}
Soit $\gamma:[a,b]\to\CC$ une courbe simple fermée de classe $\mathcal C^1$, de longueur $L$ et enfermant une surface $S$. Alors
\[L^2\ge 4\pi S\]
et $L^2=4\pi S$ si et seulement si $\gamma$ définit un cercle parcouru une fois.
\end{thm}
\begin{proof}
On commence par quelques simplifications. On peut déjà supposer sans perdre en généralité que $L=1$.

Montrons maintenant que l'on peut se ramener au cas où $|\gamma'(t)|=1$ pour tout $t$. Pour $t\in[a,b]$, on définit l'abscisse curviligne de $\gamma$ par
\[s(t)=\int_a^t|\gamma'(u)|\dt u.\]
$\gamma'$ est continue et on peut supposer que $\gamma'$ ne s'annule sur aucun intervalle, donc $s$ est strictement croissante, il s'agit donc d'une bijection de $[a,b]$ dans $[0,1]$ (car $s(b)=L=1$). On note $\tilde\gamma:=\gamma\circ s^{-1}$, alors
\begin{align*}
\tilde\gamma'(t)&=(s^{-1})'(t)\gamma'(s^{-1}(t))\\
&=\frac 1{s'(s^{-1}(t))}\gamma'(s^{-1}(t))\\
&=\frac{\gamma'(s^{-1}(t))}{|\gamma'(s^{-1}(t))|}.
\end{align*}
On a donc $|\tilde\gamma'(t)|=1$ pour tout $t$. De plus, pour $t<u$,
\begin{align*}
\tilde\gamma(t)=\tilde\gamma(u)&\iff\gamma(s^{-1}(t))=\gamma(s^{-1}(u))\\
&\iff s^{-1}(t)=a\text{ et }s^{-1}(u)=b\quad\text{car $\gamma$ est simple et fermée}\\
&\iff t=s(a)=0\text{ et }u=s(b)=1.
\end{align*}
Finalement, $\tilde\gamma$ est une courbe simple fermée de classe $\mathcal C^1$ sur $[0,1]$, vérifiant $|\tilde\gamma(t)|=1$ pour tout $t$ et de même support que $\gamma$. On peut donc supposer que $\gamma$ vérifie les propriétés de $\tilde\gamma$.

Par ailleurs, quitte à remplacer $\gamma$ par $\gamma(1-\cdot)$, on peut supposer que $\gamma$ est positivement orientée.

On peut maintenant prouver le théorème. Pour calculer $S$, on utilise la formule de Green-Riemann qui s'écrit, si le domaine $A$ enfermé par $\gamma$ est vue dans $\RR^2$, 
\[\int\int_A\left(\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\right)\dt x\dt y=\int_{\gamma}P(x,y)\dt x+Q(x,y)\dt y.\]
En particulier, si on prend $Q:(x,y)\mapsto\frac x2$ et $P:(x,y)\mapsto-\frac y2$, on a $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1$ donc
\[\int\int_A\dt x\dt y=S=\frac 12\int_{\gamma}x\dt y-y\dt x=\frac 12\int_0^1(x(t)y'(t)-y(t)x'(t))\dt t,\]
où $\gamma(t)=x(t)+iy(t)$. On en déduit
\[S=\frac 12\text{Im}\int_0^1\gamma'(t)\overline{\gamma(t)}\dt t.\]

Donnons désormais une expression de $L$. On a
\[L=\int_0^1|\gamma'(t)|\dt t=\int_0^1|\gamma'(t)|^2\dt t.\]
On souhaite maintenant utiliser la formule de Parseval sur $\gamma'$. Pour cela, remarquons, puisque $\gamma(0)=\gamma(1)$, que l'on peut prolonger $\gamma$ en une fonction 1-périodique continue de classe $\mathcal C^1$ par morceaux sur $\RR$, que l'on note toujours $\gamma$. En appliquant la formule de Parseval à $\gamma'$ (qui est continue sur $[0,1]$ donc $L^2$), on obtient alors, si $c_n$ désignent les coefficients de Fourier,
\[L=\sum_{n\in\ZZ}|c_n(\gamma')|^2=4\pi^2\sum_{n\in\ZZ}n^2|c_n(\gamma)|^2\]
car $c_n(\gamma')=2i\pi nc_n(\gamma)$.

Par ailleurs, la formule de Parseval donne aussi
\[\int_0^1\gamma'(t)\overline{\gamma(t)}\dt t=\sum_{n\in\ZZ}c_n(\gamma')\overline{c_n(\gamma)}=2i\pi\sum_{n\in\ZZ}n|c_n(\gamma)|^2.\]
On en déduit
\[S=\frac 12\text{Im}\int_a^b\gamma'(t)\overline{\gamma(t)}\dt t=\pi\sum_{n\in\ZZ}n|c_n(\gamma)|^2.\]
D'où
\[L-4\pi S=4\pi^2\sum_{n\in\ZZ}(n^2-n)|c_n(\gamma)|^2\ge 0.\]

Par ailleurs, pour tout $n$ différent de 0 et 1, $n^2-n>0$ donc $L=2\pi S$ si et seulement si $c_n(f)=0$ pour $n$ différent de 0 et 1, c'est-à-dire si et seulement si
\[\forall t\in[0,1],\quad\gamma(t)=c_0(\gamma)+c_1(\gamma)e^{2i\pi t},\]
ce qui est une paramétrisation du cercle de centre $c_0(\gamma)$ et de rayon $|c_1(\gamma)|$.
\end{proof}
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{QZ}
Hervé Queffélec, Claude Zuily,
\emph{Analyse pour l'agrégation},
Dunod,
2007,
page 103.
\end{thebibliography}
\end{document}