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\parskip=0.25cm

\title{Calcul de l'inverse d'une matrice par une méthode itérative}

\begin{document}

\maketitle

Soit $A=M-N$ une matrice hermitienne définie positive, avec $M$ inversible et $M^*+N$ définie positive.
On pose $B=M^{-1}N$ et $C=M^{-1}X$, pour $X \in \mathbb C^n$.\\
On munit $\mathbb C^n$ de la norme définie par $||X||=\sqrt{(X|AX)}$.

L'idée est de construire une suite $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ définie par $X_0 \in \mathbb C^n$ et :
$$
X_{n+1}=BX_n+C
$$
qui converge vers $A^{-1}X$.

\underline{Première étape :} montrons que $|||B|||<1$.

On a :
$$
|||B|||^2=\sup_{X \neq 0}\frac{||BX||^2}{||X||^2}=\sup_{X \neq 0}\frac{X^*B^*ABX}{X^*AX}.
$$
$|||B|||<1$ ssi $\forall X \neq 0, X^*B^*ABX<X^*AX$ ssi $\forall X \neq 0, X^*(A-B^*AB)X>0$ ssi $A-B^*AB$ est définie positive.\\
Nous avons $B=M^{-1}N=M^{-1}(M-A)=I_n-M^{-1}A.$ On en déduit que :
$$
\begin{array}{ccl}
A-B^*AB & = & A-(I_n-AM^{*-1})A(I_n-M^{-1}A)\\
& = & A-A+AM^{*-1}A+AM^{-1}A-AM^{*-1}AM^{-1}A\\
& = & AM^{*-1}(M+M^*-A)M^{-1}A\\
& = & (M^{-1}A)^*(M^*+N)(M^{-1}A).\\
\end{array}
$$
$M^*+N$ est définie positive donc $A-B^*AB$ aussi ($\forall X \neq 0, X^*(A-B^*AB)X=(M^{-1}AX)^*(M^*+N)(M^{-1}AX)>0$).\\
Donc $|||B|||<1$.

\underline{Seconde étape :} montrons que $I_n-B$ est inversible.

Soit $Y \in \mathbb C^n$ tel que $(I_n-B)Y=0$. Alors $BY=Y$ et donc $||Y||=||BY||\leq|||B|||\times||Y||<||Y||$ si $Y \neq 0$,
ce qui est absurde. Donc $I_n-B$ est inversible.

\underline{Troisième étape :} Construisons $L$ limite de la suite $(X_n)_{n \in \mathbb N}$.

Posons $L=(I_n-B)^{-1}C$ de sorte que $(I_n-B)L=C$. 
Cette limite potentielle est choisie comme point fixe de la fonction $Y \longmapsto BY+C$.

On a $\forall n \in \mathbb N, X_{n+1}-L=BX_n+C-L=BX_n+(I_n-B)L-L=B(X_n-L)$ d'où $X_n-L=B^n(X_0-L)$. Alors :
$$
||X_n-L||\leq|||B|||^n||X_0-L||.
$$
Comme $|||B|||<1$, $X_n$ converge vers $L$ (pour tout $X_0 \in \mathbb C^n$). Et:
$$
L=(I_n-B)^{-1}C=(I_n-(I_n-M^{-1}A))^{-1}(M^{-1}X)=A^{-1}MM^{-1}X=A^{-1}X.
$$

Cet algorithme est intéressant pour calculer l'inverse de $A$, lorsque l'on sait calculer explicitement la valeur de $M^{-1}$.
En prenant par exemple $M=\alpha I_n$ avec $\alpha\in\mathbb R$, on a $M^*+N=M+N=2M-A$,
qui est hermitienne si $2\alpha$ est supérieur à $\max\{|\lambda|,\lambda \in\mathrm{Sp}(A)\}$.

\vspace{1.5cm}

Référence : Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux-X-ENS algèbre 3, pages 169-170.

\end{document}
