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\title{\'Etude de la loi Gamma}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
Soit $a>0$ et $\lambda>0$. Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\Gamma(a,\lambda)$, de densité
\[f(x)=\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}e^{-\lambda x}x^{a-1}\mathbf 1_{[0,+\infty[}(x).\]
\subsubsection*{Calcul de $\mathbb E[X]$.}
\begin{align*}
\mathbb E[X]&=\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}x^a\dt x\\
&=\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{+\infty}e^{-u}\frac{u^a}{\lambda^a}\frac{\dt u}\lambda\\
&=\frac{\Gamma(a+1)}{\lambda\Gamma(a)}\\
&=\frac a\lambda.
\end{align*}

\subsubsection*{Calcul de $\mathrm{Var}(X)$.}
Le même calcul donne Var$(X)=\frac a{\lambda^2}$.

\subsubsection*{Calcul de la transformée de Laplace $L_X$ de $X$.}
\[L_X(t)=\mathbb E[e^{tX}]=\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{+\infty}e^{(t-\lambda)x}x^{a-1}\dt x\]
lorsque cette intégrale existe. L'intégrande est intégrable en 0 car $e^{(t-\lambda)x}x^{a-1}\sim x^{a-1}$ avec $a-1>-1$.

En $+\infty$, l'intégrande n'est intégrable que pour $t-\lambda<0$, donc $L_X$ est définie sur $\mathopen]-\infty,\lambda[$. On a alors, pour $t<\lambda$, en effectuant le changement de variables $x=\frac u{\lambda-t}$,
\[L_X(t)=\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{+\infty}e^u\frac{u^{a-1}}{(\lambda-t)^{a-1}}\frac{\dt u}{\lambda-t}=\left(\frac\lambda{\lambda-t}\right)^a.\]

\subsubsection*{Calcul de la fonction caractéristique $\varphi_X$ de $X$.}
\[\varphi_X(t)=\mathbb E[e^{itX}]=\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{+\infty}e^{(it-\lambda)x}x^{a-1}\dt x.\]
Montrons que $\varphi_X$ peut se prolonger en une fonction holomorphe sur $D:=\{z\in\CC\mid\Re(z)<\lambda\}$. Pour $z\in D$, on pose
\[F(z):=\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{+\infty}e^{(z-\lambda)x}x^{a-1}\dt x.\]
Appliquons le théorème d'holomorphie sous l'intégrale pour montrer que $F$ est bien définie et holomorphe sur $D$. On pose $g(x,z):=e^{(z-\lambda)x}x^{a-1}$, on a alors
\begin{itemize}
	\item pour tout $z\in D,g(\cdot,z)$ est mesurable ;
	\item pour tout $x>0,g(x,\cdot)$ est holomorphe sur $D$ ;
	\item soit $\varepsilon>0$, pour $x>0$ et $z\in D$ tel que $\Re(z)<\lambda-\varepsilon$, on a
	\[|g(x,z)|=e^{(\Re(z)-\lambda)x}x^{a-1}\le e^{-\varepsilon x}x^{a-1}\in L^1(\RR_+).\]
\end{itemize}
On en déduit que $F$ est bien définie et holomorphe sur $D$.

D'autre part, pour tout $z\in D,\Re(\lambda-z)>0$, donc on peut définir $(\lambda-z)^a=e^{a\log(\lambda-z)}$ avec $\log$ la détermination principale du logarithme sur $\CC\setminus\RR_-$. La fonction $G$ définie sur $D$ par
\[G(z)=\left(\frac{\lambda}{\lambda-z}\right)^a\]
prolonge ainsi la fonction $L_X$ sur $D$.

Finalement, $F$ et $G$ coïncident sur $\mathopen]-\infty,\lambda[$ donc, par le principe de prolongement analytique, $F=G$ sur $D$, d'où
\[\forall t\in\RR,\quad\varphi_X(t)=F(it)=\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^a.\]
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{COT}
Marie Cottrell, Valentin Genon-Catalot, Christian Duhamel, Thierry Meyre,
\emph{Exercices de probabilités},
Cassini.
\end{thebibliography}
\end{document}