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\title{Théorème de Cauchy-Lipschitz}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\qquad Référence : Jean-Pierre Demailly, \emph{Analyse numérique et équations différentielles}, EDP Sciences, 2006.
\bigskip

On s'intéresse au problème de Cauchy
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
X'=f(t,X)\\
X(t_0)=x_0
\end{array}\right.
\label{eq:1}
\end{equation}
où $f:U\to\RR^n$ avec $U$ un ouvert de $\RR\times\RR^n$ et $(t_0,x_0)\in U$.
\begin{de}
On dit que $f$ est localement lipschitzienne en $X$ si pour tout $(t_1,x_1)\in U$, il existe un voisinage $V$ de $x_1$, un voisinage $W$ de $t_1$ et $k>0$ tels que pour tous $x,y\in V$ et tout $t\in W$, $\|f(t,x)-f(t,y)\|\le k\|x-y\|$.
\end{de}
\begin{thm}
Si $f$ est continue sur $U$ et localement lipschitzienne en $X$, alors $(\ref{eq:1})$ admet une unique solution maximale.
\end{thm}
\begin{proof}
$f$ est continue sur $U$ donc $(\ref{eq:1})$ est équivalent à 
\begin{equation}
X(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(u,X(u))\dt u.
\label{eq:2}
\end{equation}
Soit $V\in\mathcal V(x_0),W\in\mathcal V(t_0)$ et $k>0$ comme dans la définition du caractère localement lipschitzien de $f$, on peut supposer $W\times V$ borné. On note $M:=\sup_{W\times V}\|f\|$.

On se place sur un cylindre de sécurité : soit $r>0$ tel que $\overline B(x_0,r)\subset V$ et soit $T>0$ tel que $[t_0-T,t_0+T]\subset W$. On note $\mathcal F$ l'espace des fonctions continues de $[t_0-T,t_0+T]$ dans $\overline B(x_0,r)$ muni de la norme infinie, il s'agit alors d'un espace de Banach.

On définit l'application $\Phi$ de $\mathcal F$ dans $\mathcal F$ par 
\[\Phi(Y)(t):=x_0+\int_{t_0}^tf(u,Y(u))\dt u.\]
Il faut d'abord que $\mathcal F$ soit stable par $\Phi$.
\[\|\Phi(Y)(t)-x_0\|\le|t-t_0|M\le TM\]
donc en choisissant $T\le\frac rM$, $\Phi(Y)$ est bien à valeurs dans $\overline B(x_0,r)$ (ce choix garantit aussi que le cylindre considéré est bien un cylindre de sécurité).

Le but est maintenant de montrer que $\Phi$ admet un point fixe en utilisant le théorème de Picard. En effet, l'équation $(\ref{eq:2})$ implique qu'une fonction $X$ de classe $\mathcal C^1$ est solution de $(\ref{eq:1})$ si et seulement si elle est point fixe de $\Phi$.

On va montrer que $\Phi$ admet une itérée contractante. Soit $Y,Z\in\mathcal F$, montrons par récurrence sur $p\in\NN$ que
\[\forall t\in[t_0-T,t_0+T],\quad\|\Phi^p(Y)(t)-\Phi^p(Z)(t)\|\le\frac{k^p|t-t_0|^p}{p!}\|Y-Z\|_\infty.\]
Cette inégalité est vraie pour $p=0$ et
\begin{align*}
\|\Phi^{p+1}(Y)(t)-\Phi^{p+1}(Z)(t)\|&\le\left|\int_{t_0}^t\|f(u,\Phi^p(Y)(u))-f(u,\Phi^p(Z)(u))\|\dt u\right|\\
&\le\left|\int_{t_0}^tk\|\Phi^p(Y)(u)-\Phi^p(Z)(u)\|\dt u\right|\\
&\le\left|\int_{t_0}^tk\frac{k^p|u-t_0|^p}{p!}\|Y-Z\|_\infty\dt u\right|\\
&=\frac{k^{p+1}|t-t_0|^{p+1}}{(p+1)!}\|Y-Z\|_\infty,
\end{align*}
d'où le résultat. On a donc, pour tout $p\in\NN$ et tous $Y,Z\in\mathcal F$,
\[\|\Phi(Y)-\Phi(Z)\|_\infty\le\frac{k^pT^p}{p!}\|Y-Z\|_\infty.\]
Or $\frac{k^pT^p}{p!}\xrightarrow[p\to+\infty]{}0$ donc il existe $p\in\NN$ tel que $\frac{k^pT^p}{p!}<1$. D'après le théorème de point fixe de Picard, $\Phi$ admet un unique point fixe $X$ sur $\mathcal F$, qui est donc l'unique solution de $(\ref{eq:1})$ sur $[t_0-T,t_0+T]$.

Cette solution se prolonge en une solution maximale. Supposons qu'il existe deux tels prolongements $X_1$ et $X_2$ sur deux intervalles $I_1$ et $I_2$. L'intervalle $I_1\cap I_2$ est non vide car il contient $[t_0-T,t_0+T]$. Soit $J$ le plus grand intervalle inclus dans $I_1\cap I_2$ et contenant $[t_0-T,t_0+T]$ tel que $X_1=X_2$ sur $J$. Alors $J$ est fermé dans $I_1\cap I_2$ car $X_1-X_2$ est continue. Si $J\neq I_1\cap I_2$, alors on peut appliquer l'unicité locale précédemment démontrée en l'une des bornes de $J$ et contredire la maximalité de $J$. Donc $J=I_1\cap I_2$, d'où on déduit $X_1=X_2$ sur $I_1\cap I_2$ et, par définition de solution maximale, $I_1=I_2$. Finalement, $X$ se prolonge en une unique solution maximale.
\end{proof}
\end{document}