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\everymath{\displaystyle\everymath{}}%applique \displaystyle à tout le monde

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\begin{document}
\title{Lemme de Schwarz et automorphismes du disque}
\author{Vincent LOUATRON}
\date{}

\maketitle

\begin{center}
Leçons concernées : 
\end{center}

\newpage

%\section{Contre-exemple au théorème de Cauchy}
%
%Sur l'ouvert $\Delta^{\times}$ avec $f : z \mapsto \frac{1}{z}$:
%
%$$\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(\zeta)d\zeta}{\zeta-z} = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta(\zeta-z)}$$
%
%$$\frac{1}{2i \pi} \int_{\gamma} \frac1{(\zeta -z)\zeta} d\zeta =\frac{1}{2i  \pi}\frac1{z}\left( \int_{\gamma} \frac1{(\zeta -z)} d\zeta - \int_{\gamma} \frac1{\zeta} d\zeta\right)  = \frac1{z} \left(\mathrm{Ind}_{\gamma}(z) -\mathrm{Ind}_{\gamma}(0) \right)$$
%
%où on utilise la définition de Ind sur $\Cc$ pour $\mathrm{Ind}_{\gamma}(0)$.


\section{Énoncés}
\noindent
Notations : $\Delta = \overset{\circ}{D}(0,1)$, $\partial \Delta = \{ z \in \Cc, |z|=1 \}$.

\begin{lemme}[Schwarz]
Soit $f : \Delta \rightarrow \Delta$ avec $f(0)=0$. Alors 
$$\forall z \in \Delta, |f(z)| \leq |z| \text{ et } |f'(0)| \leq 1$$
Si de plus il existe $c \in \Delta \setminus \{0\}$ tel que $|f(c)| = |c|$ ou, pour le cas $c=0$, $|f'(0)|=1$, alors $f$ est une rotation.
\end{lemme}

\begin{theo}
L'ensemble des automorphismes du disque est $ \left\{ z \mapsto \eta \frac{z-w}{\overline{w}z -1} , \eta \in \partial \Delta, w \in \Delta \right\}$.
\end{theo}

\section{Démonstrations}

\begin{enumerate}
    \item[(i)] Soit $f \in \mathscr{H}(\Delta)$ telle que $f(0)=0$.\\
    Soit $z \in \Delta \setminus \{0\}$ et $|z| < r < 1$ de manière à avoir $\overline{\Delta_{0,r}} \subset \Delta$.\\
    On considère $g : w \in \Delta \setminus \{0\} \mapsto \frac{f(w)}{w}$, qui est holomorphe sur $\Delta \setminus \{0\}$. En fait, puisque $f(0)=0$, on a une singularité apparente et donc $g$ est prolongeable par holomorphie sur $\Delta$. Par principe du maximum sur le disque $\Delta$, il vient
    $$|g(z)| \leq \underset{\partial \Delta_{0,r}}{\max |g|} = \underset{\theta \in [0, 2\pi]}{\max |g(r e^{i\theta})|} = \frac{|f\left(re^{i \theta}\right)|}{\left\vert re^{i \theta}\right\vert} < \frac{1}{r}$$
    
    %(*) On considère un $\theta$ réalisant ce max. On obtient alors
    %$$|g(a)| \leq \left\vert g\left(a + re^{i \theta}\right) \right\vert = \frac{|f\left(a + re^{i \theta}\right)|}{\left\vert a + re^{i \theta}\right\vert} < \frac{1}{\left\vert a + re^{i \theta}\right\vert}.$$
    
    En passant à la limite lorsque $r \rightarrow 1$ on obtient l'inégalité (large) suivante :
    \begin{equation}\label{eq1}
        |g(z)| \leq 1
    \end{equation}
    d'où on déduit $|f(z)| \leq |z|$ pour $z \in \Delta \setminus \{0\}$. Puisque l'on a prolongé par holomorphie en $0$ on a également $|g(0)| = |f'(0)| \leq 1$.
    %Par seconde inégalité triangulaire, on a
    %$$\left\vert a - (|a|-1)e^{i \theta} \right\vert \geq \left\vert |a| - \left\vert(|a|-1) e^{i \theta}\right\vert \right\vert \geq |a| - |a| + 1 = 1$$
    %On déduit alors de (\ref{eq1}) que $|g(a)| \leq 1$, d'où $|f(a)| \leq |a|$.
    %On a raisonné sur $a \in \Delta$ quelconque, en particulier en $a=0$ on obtient $|g(0)| \leq 1$ c'est à dire $|f'(0)| \leq 1$.
    \item[(ii)] Si on a un $c \neq 0$ tel que $|f(c)| = |c|$, on a alors $|g(c)| = 1$ et on retrouve le cas d'égalité dans le principe du maximum, et donc $g$ est constante sur $\Delta$. Dit autrement, il existe une constante $a \in \partial \Delta$ telle que 
    $$\forall z \in \Delta, f(z) = az.$$
    Dans le cas où $|f'(0)| = 1$, on a $|g(0)| = 1$ et donc par (\ref{eq1}) il s'agit du cas d'égalité dans le principe du maximum. On conclut de la même manière que précédement.
    \item[(iii)]
    \begin{itemize}
        \item \textbf{Sens direct.} Soit $f \in Aut(\Delta)$ fixant $0$. On est dans le cadre de (i) et (ii). Donc d'après (\ref{eq1}), on a $\forall z \in \Delta$, $|f(z)| \leq |z|$. En particulier, $\forall w \in \Delta$, $|w| \leq |f^{-1}(w)|$ où on a pris $w = f(z)$ dans l'égalité précédente (ce qui est légitime car $f$ est bijective).\\
        D'autre part, on a aussi $f^{-1} \in Aut(\Delta)$ qui fixe $0$ donc on peut appliquer à nouveau (\ref{eq1}) sur $f^{-1}$. On obtient $|f^{-1}(z)| \leq |z|$ pour tout $z \in \Delta$. A ce stade on a donc $|f^{-1}(z)| \leq |z| \leq |f^{-1}(z)|$. Par (ii), $f^{-1}$ est donc une rotation, et donc $f$ également (rotation d'angle opposé).
        \item \textbf{Sens réciproque.} On vérifie aisément que toute rotation définit une permutation de $\Delta$, de réciproque la rotation d'angle opposé. L'holomorphie est aussi facilement vérifiée à partir de l'expression $f(z) = az$ (remarque : $a = e^{i\theta}$ avec $\theta$  un argument de la rotation).
    \end{itemize}
    \item[(iv)] Montrons le lemme suivant : on se donne un sous-groupe $F$ de $Aut(\Delta)$ vérifiant :
    $$\begin{cases}
    \exists c \in \Delta, \left\{ g \in Aut(\Delta), g(c) = c \right\} \subset F\\
    \forall z_1, z_2 \in \Delta, \exists f \in F, f(z_1) = z_2 \text{ (transitivité)}
    \end{cases}$$
    et l'on va montrer que ce sous-groupe est en fait $Aut(\Delta)$ tout entier.\\
    Soit $g \in Aut(\Delta)$. Si $g(c) = c$, on a $g \in F$. Supposons que ce ne soit pas le cas.\\
    On a $g(c) = c' \in \Delta$ avec $c' \neq c$. Par transitivité de l'action de $F$ sur $\Delta$, il existe $f \in F$ telle que $f(c') = c$, c'est à dire $(f \circ g) (c) = c$.\\
    $f \circ g$ est la composée d'automorphismes de $\Delta$ envoyant $c$ sur $c$, donc appartient à $F$. De plus, $f^{-1} \in F$ car $F$ est un groupe. On en déduit donc que $f^{-1} \circ f \circ g = g \in F$.\\
    Ainsi, $F = Aut(\Delta)$. On va maintenant montrer que l'ensemble $F_0 := \left\{ z \mapsto \eta \frac{z-w}{\overline{w}z -1} , \eta \in \partial \Delta, w \in \Delta \right\}$ vérifie les conditions précédentes.\\
    \textbf{Montrons que $F_0$ contient un groupe d'isotropie.} D'après (iii), le groupe des rotations de $Aut(\Delta)$ est exactement le groupe d'isotropie pour $c=0$. En particulier, il est contenu dans $F$ en considérant les $\varphi_{\eta,0} : z \mapsto \eta z$.\\
    \textbf{Montrons que $F_0$ est un sous-groupe de $Aut(\Delta)$.} On vérifie tout d'abord que tout $\varphi_{\eta, w}$ de la forme $z \mapsto \eta \frac{z-w}{\overline{w}z -1}$ est holomorphe (car $|\overline{w} z| < 1$ donc le dénominateur ne s'annule pas sur $\Delta$) et bijective d'inverse $\varphi_{\overline{\eta},w\eta}$ :
        \begin{flalign*}
            \eta \frac{z-w}{\overline{w}z-1} = u & \Longleftrightarrow z(\eta - u\overline{w}) = \eta w - u\\
            & \Longleftrightarrow z = \frac{\eta w - u}{\eta - u\overline{w}} = \frac{w - u\overline{\eta} }{1-\overline{w\eta}u } = \overline{\eta} \frac{u - (w \eta)}{(w \eta)u -1}
        \end{flalign*}
    où on a utilisé $\eta \overline{\eta} = 1$. Donc $F_0$ est bien un sous-ensemble de $Aut(\Delta)$ stable par inverse. Il nous reste à vérifier que $F_0$ est stable par composition, ce qui est en fait la partie la moins triviale de cette preuve. On pourra trouver les détails aux pages 87-88 de \cite{Rem}. L'idée est la suivante :\\
    Il est relativement aisé de constater que l'ensemble suivant est un sous-groupe de $SL_2(\Cc)$ :
    $$M = \left\{ B = \left(\begin{matrix}a&b\\\bar{b} & \bar{a}  \end{matrix}\right) a,b \in \Cc, det(B)=1 \right\}$$
    Fort de ce constat, on va maintenant montrer que toute matrice de la forme $A_{\eta,w} = \left(\begin{matrix}\eta & -\eta w\\\bar{w} & -1  \end{matrix}\right)$, décrivant l'élément $\varphi_{\eta, w} \in F_0$, peut s'écrire $sB$ avec $s \in \Cc^{\times}$ et $B \in M$, et ce de manière unique. Cela montrera donc que l'ensemble des matrices de cette forme est un groupe. On remarque par ailleurs, par un calcul élémentaire, que le produit matriciel $A_{\eta,w}A_{\mu,v}$ est exactement la matrice décrivant l'application $\varphi_{\eta, w} \circ \varphi_{\mu, v}$. On pourra donc, une fois rendu à ce stade, conclure. Montrons donc le résultat annoncé.\\
    Soient $w \in \Delta$ et $\eta \in \partial \Delta$. On remarque que $\frac{-\eta}{1-|w|^2}$ est non nul car $|w| < 1$. On peut donc en considérer une racine $a$, c'est à dire vérifiant $a^2 = \frac{-\eta}{1-|w|^2}$. En posant $b := -wa$ il vient
    $$|a|^2 - |b|^2 = |\eta| \frac{1-|w|^2}{1-|w|^2} = |\eta|$$
    et on pose alors $B := A_{\eta,w} = \left(\begin{matrix}a&b\\\bar{b} & \bar{a}  \end{matrix}\right) \in M$. On pose enfin $s := \frac{\eta}{a} = -a(1-|w|) \in \Cc^{\times}$ et on obtient $sB = \left(\begin{matrix}\eta & -\eta w\\\bar{w} & -1  \end{matrix}\right)$.\\
    %On vérifie ensuite par un calcul que $\varphi_{\eta, w} \circ \varphi_{\mu, v} = \varphi_{\nu, u} \in F_0$ avec $\nu = \frac{\eta \mu}{\overline{w \eta}v -1}$ et $u = \frac{v - w\overline{\mu}}{1-\overline{\mu v}w}$
    \textbf{Montrons que  l'action de $F_0$ sur $\Delta$ est transitive.} \footnote{Une première idée serait, pour $z, z' \in \Delta$, de prendre $\varphi_{z',1}$, cependant $1 \not\in \Delta$ donc $\varphi_{z',1} \not\in F_0$.}
    Soient $z, z' \in \Delta$.\\
    On remarque tout d'abord que l'on peut atteindre tout point $w \in \Delta$ à partir du point $0$ avec $\varphi_{1,w}$ (autrement dit, l'orbite de $0$ recouvre $\Delta$ en entier). En particulier, $\varphi_{1, z}, \varphi_{1, z'} \in F_0$ vérifient $\varphi_{1, z} = z$ et $\varphi_{1, z'} = z'$. De ceci on déduit, avec $\psi := \varphi_{1, z'} \circ \varphi_{1, z}^{-1}$, que $h(z) = z'$ et donc que l'action est bien transitive.
\end{enumerate}


\begin{thebibliography}{}
\bibitem[Rem]{Rem}
Reinhold Remmert,
Theory of complex functions,
Springer
\bibitem[Rud]{Rud}
Walter Rudin,
Analyse réelle et complexe,
Dunod,
3e édition
\end{thebibliography}

\end{document}